《2025年经纶学典5星学霸七年级数学上册苏科版》

1. 新方法(2024·济南期中)阅读材料,回答问题.
材料一:因为 $2^{3}= 2×2×2,2^{2}= 2×2$, 所以 $2^{3}×2^{2}= (2×2×2)×(2×2)= 2^{5}$.
材料二:求 $3^{1}+3^{2}+3^{3}+3^{4}+3^{5}+3^{6}$ 的值.
解:设 $S= 3^{1}+3^{2}+3^{3}+3^{4}+3^{5}+3^{6}$ ①,
则 $3S= 3^{2}+3^{3}+3^{4}+3^{5}+3^{6}+3^{7}$ ②,
②-①,得 $3S - S= (3^{2}+3^{3}+3^{4}+3^{5}+3^{6}+3^{7})-(3^{1}+3^{2}+3^{3}+3^{4}+3^{5}+3^{6})= 3^{7}-3$,
所以 $2S= 3^{7}-3$, 即 $S= \frac{3^{7}-3}{2}$, 所以 $3^{1}+3^{2}+3^{3}+3^{4}+3^{5}+3^{6}= \frac{3^{7}-3}{2}$.
这种方法我们称为“错位相减法”.
(1)填空:$5×5^{8}= 5^{(}$9$^{)}$.
(2)“棋盘摆米”是一个著名的数学故事:阿基米德与国王下国际象棋(国际象棋棋盘共有 64 个小方格),国王输了,国王问阿基米德要什么奖赏.阿基米德对国王说:“我只要在棋盘上第一格放一粒米,第二格放二粒米,第三格放四粒米,第四格放八粒米……按这个方法放满整个棋盘就行”国王以为要不了多少粮食,就随口答应了.
①第 64 格中应放$2^{63}$粒米.
②设国王输给阿基米德的总米粒数为 $S$, 求 $S$.
由题意得$S=1+2+2^{2}+2^{3}+\cdots +2^{63}$,$2S=2+2^{2}+2^{3}+\cdots +2^{64}$,所以$2S - S=2^{64}-1$,即$S=2^{64}-1$.

答案：
(1)9
(2)①$2^{63}$ ②由题意得$S=1+2+2^{2}+2^{3}+\cdots +2^{63}$,$2S=2+2^{2}+2^{3}+\cdots +2^{64}$,所以$2S - S=2^{64}-1$,即$S=2^{64}-1$.

2. 计算:(1)$\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^{2}+(\frac{1}{2})^{3}+(\frac{1}{2})^{4}+…+(\frac{1}{2})^{8}$; (2)$5+2×5^{2}+3×5^{3}+4×5^{4}+…+8×5^{8}$.

答案：
(1)设$S=\frac {1}{2}+(\frac {1}{2})^{2}+(\frac {1}{2})^{3}+(\frac {1}{2})^{4}+\cdots +(\frac {1}{2})^{8}$ ①,则$2S=1+\frac {1}{2}+(\frac {1}{2})^{2}+(\frac {1}{2})^{3}+\cdots +(\frac {1}{2})^{7}$ ②,则②-①,得$2S - S=S=1-\frac {1}{2^{8}}$.
(2)设$M=5+2×5^{2}+3×5^{3}+4×5^{4}+\cdots +8×5^{8}$ ①,所以$5M=1×5^{2}+2×5^{3}+3×5^{4}+\cdots +8×5^{9}$ ②,所以②-①得$5M - M=(1×5^{2}+2×5^{3}+3×5^{4}+\cdots +8×5^{9})-(5+2×5^{2}+3×5^{3}+4×5^{4}+\cdots +8×5^{8})=8×5^{9}-(5+5^{2}+5^{3}+\cdots +5^{8})$.设$T=5+5^{2}+5^{3}+\cdots +5^{8}$,所以$5T=5^{2}+5^{3}+\cdots +5^{9}$,所以$5T - T=5^{9}-5$,所以$4T=5^{9}-5$,所以$T=\frac {5^{9}-5}{4}$,所以$4M=8×5^{9}-(5+5^{2}+5^{3}+\cdots +5^{8})=8×5^{9}-\frac {5^{9}-5}{4}$,所以$M=\frac {8×5^{9}-\frac {5^{9}-5}{4}}{4}=\frac {31×5^{9}+5}{16}$.