《2025年经纶学典5星学霸七年级数学上册苏科版》

4. (1)求$\vert x + 7\vert+\vert x + 2\vert+2\vert x - 3\vert$的最小值.
(2)求$\vert x - 1\vert+\vert 2x - 4\vert+\vert 3x - 9\vert+…+\vert 10x - 100\vert$的最小值.

答案：
(1)$|x+7|+|x+2|+2|x-3|$可以理解为在数轴上表示x的点到表示-7,-2,3,3的点的距离之和,根据奇点偶段法,当x在-2与3之间的线段上(即$-2\leqslant x\leqslant 3$)时,$|x+7|+|x+2|+2|x-3|=x+7+x+2+2(3-x)=15$,所以$|x+7|+|x+2|+2|x-3|$的最小值为15.
(2)原式$=|x-1|+2|x-2|+3|x-3|+\cdots +10|x-10|=|x-1|+|x-2|+|x-2|+|x-3|+|x-3|+|x-3|+\cdots +|x-10|+|x-10|+|x-10|+|x-10|+|x-10|+|x-10|+|x-10|+|x-10|+|x-10|$,一共有$1+2+3+\cdots +10=55$(个)点,根据奇点偶段法可知,在中间点处取最小值,中间点是第$(55+1)÷ 2=28$(个).因为$(1+7)× 7÷ 2=28$,所以中间点表示的数是7,把$x=7$代入$|x-1|+2|x-2|+3|x-3|+\cdots +10|x-10|$,得$6+2× 5+3× 4+4× 3+5× 2+6× 1+0+8× 1+9× 2+10× 3=112$.

5. (1)求$\vert x + 1\vert-\vert x - 2\vert$的最大值,并求出此时$x$的取值范围.
(2)求$\vert x - 1\vert-\vert x - 2\vert+\vert x - 3\vert-\vert x - 4\vert$的最大值.

答案：
(1)根据绝对值的几何意义,$|x+1|-|x-2|$是表示x的点到表示-1的点的距离与表示x的点到表示2的点的距离的差,由数轴可得当表示x点在表示2的点的右侧,即$x\geqslant 2$时,$|x+1|-|x-2|$有最大值3.
(2)根据绝对值的几何意义,$|x-1|-|x-2|+|x-3|-|x-4|$是表示x的点到表示1的点的距离与表示x的点到表示2的点的距离的差与表示x的点到表示3的点的距离与表示x的点到表示4的点的距离的差的和,当$x\geqslant 4$时,有最大值为$1+1=2$.

6. (1)已知$\vert x - 3\vert+\vert x + 4\vert+\vert y - 2\vert+\vert y + 1\vert = 10$,求$x + y$的最小值.
(2)$(\vert x + 1\vert+\vert x - 2\vert)(\vert y + 2\vert+\vert y - 3\vert)= 15$,求$xy$的最大值和最小值.

答案：
(1)因为$|x-3|+|x+4|$的最小值为7,此时$-4\leqslant x\leqslant 3$,$|y-2|+|y+1|$的最小值为3,此时$-1\leqslant y\leqslant 2$,所以当$|x-3|+|x+4|+|y-2|+|y+1| = 10$时,$-4\leqslant x\leqslant 3$,$-1\leqslant y\leqslant 2$,此时$x+y$的最小值为$-4+(-1)=-5$.
(2)$(\vert x + 1\vert+\vert x - 2\vert)(\vert y + 2\vert+\vert y - 3\vert)= 15$,根据绝对值的几何意义可得$|x+1|+|x-2|$的最小值是3,此时$-1\leqslant x\leqslant 2$,$|y+2|+|y-3|$的最小值是5,此时$-2\leqslant y\leqslant 3$,而$3× 5=15$,因此$-1\leqslant x\leqslant 2$,$-2\leqslant y\leqslant 3$,所以xy的最大值为$2× 3=6$,最小值为$-2× 2=-4$.故xy的最大值是6,最小值是-4.