《2025年经纶学典5星学霸七年级数学上册苏科版》

1. (2025·徐州月考)已知OC是∠AOB的平分线,$∠BOD= \frac {1}{3}∠COD$,OE平分∠COD,设$∠AOB= α$,则$∠BOE= $ (A)
A.$\frac {5}{16}α或\frac {1}{8}α$
B.$\frac {5}{16}α或\frac {1}{6}α$
C.$\frac {1}{8}α或\frac {1}{6}α$
D.$\frac {1}{6}α$

答案： A

2. (2025·宿迁期末)如图①,已知$∠AOB= 120^{\circ },∠COD= 60^{\circ }$,OM在∠AOC内,ON在∠BOD内,$∠AOM= \frac {1}{3}∠AOC,∠BON= \frac {1}{3}∠BOD$.(本题中所有角均大于$0^{\circ }且小于等于180^{\circ }$)
(1)$∠COD$从图①中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时,如图②,则$∠MON= $______$^{\circ }$;
(2)$∠COD$从图②中的位置绕点O逆时针旋转$n^{\circ }(0＜n＜120且n≠60)$,求$∠MON$的度数;
(3)$∠COD$从图②中的位置绕点O顺时针旋转$n^{\circ }(0＜n＜180且n≠60a$,其中a为正整数),直接写出所有使$∠MON= 2∠BOC$的n的取值.

答案：

(1)100
(2)①当0＜n＜60时,如图①,因为∠BOC=n°,所以∠AOC=∠AOB - ∠BOC=120° - n°,∠BOD=∠COD - ∠BOC=60° - n°,所以∠MON=∠MOC+∠BOC+∠BON=$\frac{2}{3}$(120° - n°)+n°+$\frac{1}{3}$(60° - n°)=100°;
　　　　 　　
②当60＜n＜120时,如图②,因为∠BOC=n°,所以∠AOC=∠AOB - ∠BOC=120° - n°,∠BOD=∠BOC - ∠DOC=n° - 60°,所以∠MON=∠MOC+∠DOC+∠DON=$\frac{2}{3}$(120° - n°)+60°+$\frac{2}{3}$(n° - 60°)=100°.综上所述,∠MON的度数为100°.
(3)n的取值为50或70　解析:①当0＜n＜60时,如图③,因为∠BOC=n°,所以∠MON=2∠BOC=2n°,所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°+n°,∠BOD=∠BOC+∠DOC=n°+60°,所以∠MON=∠MOC+∠DOC - ∠DON=$\frac{2}{3}$(120°+n°)+60° - $\frac{2}{3}$(n°+60°)=100°,所以2n°=100°,n=50;

②当60＜n＜120时,如图④,因为∠BOC=n°,所以∠MON=2∠BOC=2n°,所以∠AOC=360° - (∠AOB+∠BOC)=360° - (120°+n°)=240° - n°,∠BOD=∠BOC+∠DOC=n°+60°,所以∠MON=360° - ∠AOM - ∠AOB - ∠BON=360° - $\frac{1}{3}$(240° - n°) - 120° - $\frac{1}{3}$(60°+n°)=140°,所以2n°=140°,n=70;
③当120＜n＜180时,如图⑤,因为∠BOC=n°,所以∠AOD=360° - ∠AOB - ∠BOC - ∠COD=360° - 120° - n° - 60°=180° - n°,所以∠AOC=∠AOD+∠COD=180° - n°+60°=240° - n°,∠BOD=∠AOD+∠AOB=180° - n°+120°=300° - n°.因为∠AOM=$\frac{1}{3}$∠AOC,∠BON=$\frac{1}{3}$∠BOD,所以∠AOM=80° - $\frac{1}{3}$n°,∠BON=100° - $\frac{1}{3}$n°,所以∠MON=∠BOM - ∠BON=(∠AOB+∠AOM) - ∠BON=(120°+80° - $\frac{1}{3}$n°) - (100° - $\frac{1}{3}$n°)=100°,所以2n°=100°,n=50,不合题意.综上所述,n的取值为50或70.

3. 已知$∠AOB= m^{\circ }$,与$∠AOC$互为余角,与$∠BOD$互为补角,OM平分$∠AOC$,ON平分$∠BOD$.
(1)如图,当$m= 36$时:
①求$∠BOM$的度数;
②请你补全图形,并求$∠MON$的度数.
(2)当$∠AOB为大于30^{\circ }$的锐角,且$∠AOC与∠AOB$有重合部分时,求$∠MON$的度数.(用含有m的式子表示)

答案：

(1)①因为∠AOB=m°,且与∠AOC互为余角,所以∠AOC=90° - m°.因为OM平分∠AOC,所以∠AOM=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{90° - m°}{2}$,所以∠BOM=∠AOM+∠AOB=$\frac{90° - m°}{2}$+m°=$\frac{90° + m°}{2}$.当m = 36时,∠BOM=$\frac{90° + 36°}{2}$=63°.
②分两种情况:
(i)当∠AOB和∠BOD没有重合部分时,补全图形如图①所示,因为∠BOD与∠AOB互为补角,所以∠BOD=180° - 36°=144°.因为ON平分∠BOD,所以∠BON=72°,所以∠MON=∠BOM+∠BON=63°+72°=135°.
　　　　
(ii)当∠AOB和∠BOD有重合部分时,补全图形如图②所示,∠MON=∠BON - ∠BOM=72° - 63°=9°.综上,∠MON的度数是135°或9°.
(2)①当30°＜m≤45°时,分两种情况:
(i)如图③,当∠AOB和∠BOD没有重合部分时,因为OM平分∠AOC,所以∠AOM=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{90° - m°}{2}$.因为ON平分∠BOD,所以∠DON=$\frac{180° - m°}{2}$,所以∠MON=180° - ∠DON - ∠AOM=180° - $\frac{180° - m°}{2}$ - $\frac{90° - m°}{2}$=45°+m°.
　　　　 　　
(ii)如图④,当∠AOB和∠BOD有重合部分时,∠AON=∠BOD - ∠AOB - ∠NOD=180° - m° - m° - $\frac{180° - m°}{2}$=90° - $\frac{3}{2}$m°,所以∠MON=∠AON+∠AOM=90° - $\frac{3}{2}$m°+$\frac{90° - m°}{2}$=135° - 2m°.
②当45°＜m＜90°时,分三种情况:
(i)如图⑤,当45°＜m＜67.5°时,∠AOB和∠BOD有重合部分时,∠MON=∠BON - ∠BOC - ∠COM=$\frac{1}{2}$∠BOD - (m° - ∠AOC) - $\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$∠BOD - m°+$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$(180° - m°) - m°+$\frac{1}{2}$(90° - m°)=135° - 2m°.
(ii)如图⑥,当∠AOB和∠BOD没有重合部分时,∠MON=180° - ∠AOM - ∠DON=180° - $\frac{90° - m°}{2}$ - $\frac{180° - m°}{2}$=45°+m°.
(iii)如图⑦,当67.5°＜m＜90°时,∠AOB和∠BOD有重合部分时,∠MON=∠AOB - ∠AOM - ∠BON=m° - $\frac{90° - m°}{2}$ - $\frac{180° - m°}{2}$=2m° - 135°.综上所述,∠MON的度数为45°+m°或135° - 2m°或2m° - 135°.