《2025年经纶学典5星学霸七年级数学上册苏科版》

1. (2024·莆田期末)点 A,B 在数轴上分别表示有理数 a,b,且$(a+36)^{2}+|b+20|= 0$.我们将 A,B 两点间的距离记为 AB.
(1)求 AB 的长度.
(2)两带电粒子 P,Q 分别从 A,B 两点同时出发,沿数轴的正方向运动,其中带电粒子 Q 的运动速度为 2 个单位长度/秒.点 C 为线段 AB 上的一点.若两带电粒子 P,Q 运动开始时,在线段 AB 之间放入某种电场,使得带电粒子在线段 AC 运动时,速度比原来快 1 个单位长度/秒,在线段 CB 运动时,速度变为原速度的 2 倍,P,Q 在其他位置速度与原来相同.若经过 x 秒的运动后,PQ 的长度恒等于 10,求运动时间 x 的最小值及点 C 所表示的数.

答案： 1.
(1)因为$(a+36)^{2}+|b+20|=0$,所以$a+36=0,b+20=0$,解得$a=-36,b=-20$,所以$AB=|-36-(-20)|=16.$
(2)因为经过x秒的运动后,PQ的长度恒等于10,所以点P和点Q的运动速度相同,即速度为2个单位长度/秒,且x的最小值为$10÷2=5$,若AC长为c,则$\frac {c}{2+1}+\frac {16-c}{2×2}=5$,得$c=12$,所以这时点C所表示的数为$-36+12=-24.$

2. 已知 A,B,C 三点在数轴上所对应的数分别为 a,b,18,且 a,b 满足$(a+10)^{2}+|b-10|= 0$.动点 M 从点 A 出发,以 2 个单位长度/秒的速度向右运动,同时,动点 N 从点 C 出发,以 1 个单位长度/秒的速度向左运动,线段 OB 为“变速区”,规则为从点 O 运动到点 B 期间速度变为原来的一半,之后立刻恢复原速,从点 B 运动到点 O 期间速度变为原来的两倍,之后也立刻恢复原速.当点 M 到达点 C 时,两点都停止运动.设运动的时间为 t 秒.
(1)$a=$-10,$b=$10,$AC=$28;
(2)M,N 两点相遇时,求相遇点在数轴上所对应的数;
设M,N相遇于点P,且点P表示的数为m.
①当点M在OA上,点N在BC上时,点M表示的数为$2t-10$,点N表示的数为$18-t$,此时无法相遇;
②当点M在OB上,点N在BC上时,无法相遇;
③当点M在OB上,点N在OB上时,可能相遇,则$BP=10-m,PO=m$,所以点M用时为$\frac {OA}{2}+\frac {OP}{2×\frac {1}{2}}=m+5$,点N用时为$\frac {BP}{1×2}+\frac {BC}{1}=\frac {10-m}{2}+8$,根据题意,得$\frac {10-m}{2}+8=m+5$,解得$m=\frac {16}{3}$,故相遇点在数轴上所对应的数为$\frac {16}{3}.$
(3)点 D 为线段 OB 的中点,当 t 为何值时,$MD= ND$?
因为点A表示的值是-10,点B表示的数是10,点C表示的数是18,点D为线段OB的中点,所以点D表示的数是5.设运动t秒时,$MD=ND$.①当点M在OA上,点N在BC上时,$0≤t≤5$,点M表示的数为$2t-10$,点N表示的数为$18-t$,此时$MD=5-(2t-10)=15-2t,ND=18-t-5=13-t$,因为$MD=ND$,所以$15-2t=13-t$,解得$t=2$;
②当点M在OD上,点N在BC上,即$5≤t≤8$时,点M表示的数为$t-5$,点N表示的数为$18-t$,此时$MD=5-(t-5)=10-t,ND=18-t-5=13-t$,因为$MD=ND$,所以$10-t=13-t$,无解;
③当点M,N在OB上,即$8≤t≤13$时,点M表示的数为$t-5$,点N表示的数为$10-2(t-8)=26-2t$,此时$MD=|5-(t-5)|=|10-t|,ND=|26-2t-5|=|21-2t|$,因为$MD=ND$,所以$10-t=21-2t$或$10-t=-(21-2t)$,解得$t=11$或$t=\frac {31}{3}$;
④当点M在DB上,点N在OA上,即$13≤t≤15$时,点M表示的数为$t-5$,点N表示的数为$0-(t-13)=13-t$,此时$MD=(t-5)-5=t-10,ND=5-(13-t)=t-8$,因为$MD=ND$,所以$t-10=t-8$,无解;
⑤当点M在BC上,点N在OA上,即$15≤t≤19$时,点M表示的数为$2(t-15)+10=2t-20$,点N表示的数为$0-(t-13)=13-t$,此时$MD=(2t-20)-5=2t-25,ND=5-(13-t)=t-8$,因为$MD=ND$,所以$t-8=2t-25$,解得$t=17.$综上所述,当$t=2$或$t=11$或$t=\frac {31}{3}$或$t=17$时,$MD=ND.$

答案： 2.
(1)-10 10 28
(2)设M,N相遇于点P,且点P表示的数为m.
①当点M在OA上,点N在BC上时,点M表示的数为$2t-10$,点N表示的数为$18-t$,此时无法相遇;
②当点M在OB上,点N在BC上时,无法相遇;
③当点M在OB上,点N在OB上时,可能相遇,则$BP=10-m,PO=m$,所以点M用时为$\frac {OA}{2}+\frac {OP}{2×\frac {1}{2}}=m+5$,点N用时为$\frac {BP}{1×2}+\frac {BC}{1}=\frac {10-m}{2}+8$,根据题意,得$\frac {10-m}{2}+8=m+5$,解得$m=\frac {16}{3}$,故相遇点在数轴上所对应的数为$\frac {16}{3}.$
(3)因为点A表示的值是-10,点B表示的数是10,点C表示的数是18,点D为线段OB的中点,所以点D表示的数是5.设运动t秒时,$MD=ND$.①当点M在OA上,点N在BC上时,$0≤t≤5$,点M表示的数为$2t-10$,点N表示的数为$18-t$,此时$MD=5-(2t-10)=15-2t,ND=18-t-5=13-t$,因为$MD=ND$,所以$15-2t=13-t$,解得$t=2$;
②当点M在OD上,点N在BC上,即$5≤t≤8$时,点M表示的数为$t-5$,点N表示的数为$18-t$,此时$MD=5-(t-5)=10-t,ND=18-t-5=13-t$,因为$MD=ND$,所以$10-t=13-t$,无解;
③当点M,N在OB上,即$8≤t≤13$时,点M表示的数为$t-5$,点N表示的数为$10-2(t-8)=26-2t$,此时$MD=|5-(t-5)|=|10-t|,ND=|26-2t-5|=|21-2t|$,因为$MD=ND$,所以$10-t=21-2t$或$10-t=-(21-2t)$,解得$t=11$或$t=\frac {31}{3}$;
④当点M在DB上,点N在OA上,即$13≤t≤15$时,点M表示的数为$t-5$,点N表示的数为$0-(t-13)=13-t$,此时$MD=(t-5)-5=t-10,ND=5-(13-t)=t-8$,因为$MD=ND$,所以$t-10=t-8$,无解;
⑤当点M在BC上,点N在OA上,即$15≤t≤19$时,点M表示的数为$2(t-15)+10=2t-20$,点N表示的数为$0-(t-13)=13-t$,此时$MD=(2t-20)-5=2t-25,ND=5-(13-t)=t-8$,因为$MD=ND$,所以$t-8=2t-25$,解得$t=17.$综上所述,当$t=2$或$t=11$或$t=\frac {31}{3}$或$t=17$时,$MD=ND.$