《2025年经纶学典5星学霸七年级数学上册苏科版》

1. 如图,指出图中物体分别是由哪些几何体组成的.

答案： ①是由一个正方体、一个圆柱、一个圆锥组成的组合体；②是由一个圆柱、一个长方体、一个三棱柱组成的组合体；③是由一个五棱柱、一个球组成的组合体.

2. 欧拉是著名的数学家,他发现不论什么形状的凸多面体,其顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个固定的关系式,被称为多面体欧拉公式.
|多面体编号|顶点数(V)|面数(F)|棱数(E)|
|①|4|4|6|

|②|8|6|12|
|③|6|8|12|
|④|9|8|15|
(1)表格列出四个多面体的顶点数(V)、面数(F)、棱数(E),空白处填____,顶点数(V)、面数(F)和棱数(E)之间存在的关系式是V+F-E=2.
(2)某个简单的多面体,是由三角形和八边两种多边形拼接而成,每个顶点处都有3条棱,共有棱33条.若该多面体三角形的个数比八边形的个数的2倍少2,求该多面体三角形的个数.
设八边形的个数为x个,则三角形的个数为(2x-2)个,因为每个顶点处都有3条棱,共有棱33条,一条棱有两个顶点,所以$\frac{3V}{2}=33=E$,所以V=22,所以F=E+2-V=33+2-22=13,所以x+(2x-2)=13,得x=5,所以2x-2=2×5-2=8(个),所以该多面体三角形的个数为8个.
(3)小轩同学尝试切去正方体一块后(用平面截取),得不到有7条棱的多面体.如果能切出有7条棱的多面体,最少需切去几块?如果不能切出有7条棱的多面体,请说明理由.
不能切出有7条棱的多面体.理由如下:因为V+F-E=2,若E=7,则V+F=9,因为V≥4,F≥4,且V,F,E都是正整数,当V=4时,F=5,不存在这样的多面体,当V=5时,F=4,不存在这样的多面体,所以不能切出有7条棱的多面体.
(4)1996年诺贝尔奖授予对$C_6₀$有重大发现的三位科学家.如图$,C_6₀$是由60个C原子构成的分子,它的结构为简单多面体形状.这个多面体有60个顶点,以每个顶点为一端点都有三条棱,面的形状只有五边形和六边形.按照$C_6₀$结构,数学家构造出顶点数为n的多面体,称为“Cₙ”多面体,探究发现,当“Cₙ”多面体的面数增多时,“Cₙ”多面体的六边形面数也会增多,你能解释其中的道理吗?

设顶点数为n,因为每个顶点处都有3条棱,一条棱有两个顶点,所以V=n,$E=\frac{3n}{2}$,所以$F=E-V+2=\frac{3n}{2}-n+2=\frac{n}{2}+2$,设六边形的个数为a个,则五边形的个数为$(\frac{n}{2}+2-a)$个,所以$6a+5(\frac{n}{2}+2-a)=2×\frac{3}{2}n$,得$a=\frac{n}{2}-10$.因为$\frac{n}{2}-10$随着n的增多而增多,所以六边形的面数也会增多.

答案：
(1)15 V+F-E=2
(2)设八边形的个数为x个,则三角形的个数为(2x-2)个,因为每个顶点处都有3条棱,共有棱33条,一条棱有两个顶点,所以$\frac{3V}{2}=33=E$,所以V=22,所以F=E+2-V=33+2-22=13,所以x+(2x-2)=13,得x=5,所以2x-2=2×5-2=8(个),所以该多面体三角形的个数为8个.
(3)不能切出有7条棱的多面体.理由如下:因为V+F-E=2,若E=7,则V+F=9,因为V≥4,F≥4,且V,F,E都是正整数,当V=4时,F=5,不存在这样的多面体,当V=5时,F=4,不存在这样的多面体,所以不能切出有7条棱的多面体.
(4)设顶点数为n,因为每个顶点处都有3条棱,一条棱有两个顶点,所以V=n,$E=\frac{3n}{2}$,所以$F=E-V+2=\frac{3n}{2}-n+2=\frac{n}{2}+2$,设六边形的个数为a个,则五边形的个数为$(\frac{n}{2}+2-a)$个,所以$6a+5(\frac{n}{2}+2-a)=2×\frac{3}{2}n$,得$a=\frac{n}{2}-10$.因为$\frac{n}{2}-10$随着n的增多而增多,所以六边形的面数也会增多.