《2025年经纶学典5星学霸七年级数学上册苏科版》

1. 如图,已知$\angle AOB= 120^{\circ}$,射线$OC在\angle AOB$的内部,射线$OM是\angle AOC靠近OA$的三等分线,射线$ON是\angle BOC靠近OB$的三等分线.
(1)若$OC平分\angle AOB$,求$\angle MON$的度数.
(2)小明说：当射线$OC绕点O在\angle AOB$的内部旋转时,$\angle MON$的度数始终保持不变,你认为小明的说法是否正确？说明理由.
(3)若$OM$,$ON$,$OA$,$OB$中有两条直线互相垂直,请直接写出$\angle AOC$所有可能的值.

答案：
1.
(1)因为∠AOB=120°,OC平分∠AOB,所以∠AOC=∠BOC= $\frac{1}{2}$∠AOB= $\frac{1}{2}$×120°=60°.因为射线OM是∠AOC靠近OA的三等分线,射线ON是∠BOC靠近OB的三等分线,所以∠MOC= $\frac{2}{3}$∠AOC= $\frac{2}{3}$×60°=40°,∠NOC= $\frac{2}{3}$∠BOC= $\frac{2}{3}$×60°=40°,所以∠MON=∠MOC+∠NOC=40°+40°=80°.
(2)小明的说法正确,因为射线OM是∠AOC靠近OA的三等分线,射线ON是∠BOC靠近OB的三等分线,所以∠MOC= $\frac{2}{3}$∠AOC,∠NOC= $\frac{2}{3}$∠BOC,所以∠MON=∠MOC+∠NOC= $\frac{2}{3}$(∠AOC+∠BOC)= $\frac{2}{3}$×120°=80°.
(3)30°或90°. 解析:①如图①,当OA⊥ON时,因为∠AOB=120°,OA⊥ON,所以∠BON=∠AOB - ∠AON=120° - 90°=30°.因为射线ON是∠BOC靠近OB的三等分线,所以∠BOC=3∠BON=3×30°=90°,所以∠AOC=∠AOB - ∠BOC=120° - 90°=30°;
　　　　 　　
②如图②,当OM⊥OB时,因为∠AOB=120°,OM⊥OB,所以∠AOM=∠AOB - ∠BOM=120° - 90°=30°.因为射线OM是∠AOC靠近OA的三等分线,所以∠AOC=3∠AOM=3×30°=90°.综上,∠AOC的度数是30°或90°.

2. (2024·南京期末)如图①,$OC是\angle AOB$内一条射线,若$\angle AOB= n\angle AOC或\angle AOB= n\angle BOC$,则称$OC为\angle AOB的n$倍分线.
【初步认识】(1)已知$\angle AOB= 60^{\circ}$,$OC为\angle AOB$的2倍分线,则$\angle AOC= $______$^{\circ}$；
【概念理解】(2)已知$\angle AOB= m^{\circ}$,$OC为\angle AOB的n$倍分线,求$\angle AOC$的度数(用含$m$,$n$的代数式表示)；
【问题解决】(3)如图②,点$O在直线AB$上,射线$OC从OA$开始,绕点$O以每秒2^{\circ}$的速度逆时针旋转,同时,射线$OD从OB$开始,绕点$O以每秒3^{\circ}$的速度顺时针旋转,当射线$OD$,$OA$重合时,运动全部停止.设运动时间为$t$秒,当射线$OA$,$OC$,$OD$中恰好有一条射线是另外两条射线组成角的3倍分线时,直接写出$t$的值.

答案：
2.
(1)30 解析:当∠AOB=2∠AOC时,∠AOC= $\frac{1}{2}$∠AOB= $\frac{1}{2}$×60°=30°;当∠AOB=2∠BOC时,∠BOC= $\frac{1}{2}$∠AOB= $\frac{1}{2}$×60°=30°,∠AOC=∠AOB - ∠BOC=60° - 30°=30°.综上,∠AOC = 30°.
(2)当∠AOB=n∠AOC时,∠AOC= $\frac{1}{n}$∠AOB= $\frac{m°}{n}$;当∠AOB=n∠BOC时,∠BOC= $\frac{1}{n}$∠AOB= $\frac{m°}{n}$,∠AOC=∠AOB - ∠BOC=m° - $\frac{m°}{n}$= $\frac{n - 1}{n}$m°,所以∠AOC的度数为 $\frac{m°}{n}$或 $\frac{n - 1}{n}$m°.
(3)t的值为20或30或 $\frac{540}{13}$或 $\frac{540}{11}$. 解析:180°÷(2°+3°)=36(秒),180°÷3°=60(秒).当运动时间为t秒时,∠AOC=2t°,∠AOD=(180 - 3t)°,∠COD=|180 - 3t - 2t|°=|180 - 5t|°.当射线OC在∠AOD内,即0＜t＜36时,如图①,若∠AOD=3∠AOC,则180 - 3t=3×2t,解得t=20;若∠AOD=3∠COD,则180 - 3t=3(180 - 5t),解得t=30;当射线OD在∠AOC内,即36＜t＜60时,如图②,若∠AOC=3∠COD,则2t=3(5t - 180),解得t= $\frac{540}{13}$;若∠AOC=3∠AOD,则2t=3(180 - 3t),解得t= $\frac{540}{11}$.综上,t的值为20或30或 $\frac{540}{13}$或 $\frac{540}{11}$.