《2025年经纶学典5星学霸七年级数学上册苏科版》

1. (2024·金华期末)我们知道等边三角形的每个内角都是 $60^{\circ}$. 如图, 将三个大小不同的等边三角形的一个顶点重合放置, 若 $∠1 = 10^{\circ}, ∠2 = 20^{\circ}$, 则 $∠3$ 的度数为 (C)

A.$10^{\circ}$
B.$20^{\circ}$
C.$30^{\circ}$
D.$40^{\circ}$

答案： C

2. (2024·合肥期末)一副三角尺 $AOB$ 与 $COD$ 如图摆放, $∠AOB = 60^{\circ}, ∠COD = 45^{\circ}$, $ON$ 平分 $∠COB$, $OM$ 平分 $∠AOD$, 则 $∠MON$ 的度数为 ______52.5°.

答案： 52.5°

3. 如图, $OM$ 是 $∠AOC$ 的平分线, $ON$ 是 $∠BOC$ 的平分线.
(1) 如图①, 当 $∠AOB$ 是直角, $∠BOC = 60^{\circ}$ 时, $∠MON$ 的度数是多少?
(2) 如图②, 当 $∠AOB = \alpha, ∠BOC = 60^{\circ}$ 时, 猜想 $∠MON$ 与 $\alpha$ 的数量关系.
(3) 如图③, 当 $∠AOB = \alpha, ∠BOC = \beta$ 时, 猜想 $∠MON$ 与 $\alpha, \beta$ 有数量关系吗? 如果有, 写出结论并说明理由.

答案： （1）如题图①,因为∠AOB=90°,∠BOC=60°,所以∠AOC=90°+60°=150°.因为 OM 平分∠AOC,ON 平分∠BOC,所以∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=75°,∠NOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=30°,所以∠MON=∠MOC-∠NOC=45°.
（2）∠MON=$\frac{1}{2}\alpha$. 解析:如题图②,因为∠AOB=$\alpha$,∠BOC=60°,所以∠AOC=$\alpha$+60°.因为 OM 平分∠AOC,ON 平分∠BOC,所以∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}\alpha$+30°,∠NOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=30°,所以∠MON=∠MOC-∠NOC=$(\frac{1}{2}\alpha +30^{\circ})$-30°=$\frac{1}{2}\alpha$.
（3）∠MON与$\alpha$有数量关系,∠MON=$\frac{1}{2}\alpha$.理由:如题图③,因为∠AOB=$\alpha$,∠BOC=$\beta$,所以∠AOC=$\alpha+\beta$.因为 OM 是∠AOC的平分线,ON 是∠BOC的平分线,所以∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}(\alpha+\beta)$,∠NOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}\beta$,所以∠MON=∠MOC-∠NOC=$\frac{1}{2}(\alpha+\beta)-\frac{1}{2}\beta=\frac{1}{2}\alpha$,即∠MON=$\frac{1}{2}\alpha$.