《2025年经纶学典5星学霸七年级数学上册苏科版》

(1)如图,1条直线可以将平面分成2个区域;2条直线时,要使分成的区域尽量多,则第2条直线要与第1条直线相交可以将平面分成4部分;3条直线时,使分成的区域尽量多,就必须将第3条直线与前面2条直线尽可能两两相交,这样就会得到2个交点,这2个交点将第3条直线分为了2条射线和1条线段,而每条射线和线段将已有的区域一分为二,这样就多了$2+1= 3$个区域,所以3条直线至多将平面分成7个区域……以此类推,n条直线可以将平面至多分成$\left[\frac{n(n+1)}{2}+1\right]$个区域.


(2)如图,1个圆可以将平面分成2个区域;2个圆时,要使分成的区域尽量多,2个圆相交将平面分成4个区域;3个圆时,要使分成的区域尽量多,第3个圆与前2个圆都相交被分成了$2×(3-1)= 4$(条)圆弧,将平面至多分成了$4+4= 8$(个)区域……以此类推,n个圆可以将平面分成$[n(n-1)+2]$个区域.


(3)如图,仿照前面的过程,n个三角形至多可以将平面分成$[3n(n-1)+2]$个区域.(提示:两个三角形至多有6个交点)


(4)n组平行线至多可以将平面分成$(2n^{2}+1)$个区域.

答案：
(1)$\left[\frac{n(n+1)}{2}+1\right]$ 解析:根据题意,1条直线,将平面分成了1+1=2(个)区域;2条直线,将平面分成了1+1+2=4(个)区域;3条直线,将平面分成了1+1+2+3=7(个)区域;…;n条直线时,要使分成的区域尽量多,就必须将第n条直线与前面(n-1)条直线尽可能两两相交,这样就会得到(n-1)个交点,这(n-1)个交点将第n条直线分为了n部分,每部分将已有的区域一分为二,这样就多了n个区域,所以n条直线至多将平面分成$1+1+2+3+\cdots +n=\left[\frac{n(n+1)}{2}+1\right]$个区域.
(2)$[n(n-1)+2]$ 解析:根据题意,1个圆,分成了2个区域;2个圆,分成了$2+(2-1)× 2=4$(个)区域;3个圆,分成了$2+(2-1)× 2+(3-1)× 2=8$(个)区域;…;n个圆时,要使分成的区域尽量多,第n个圆与前(n-1)个圆都相交,这样就会得到$2(n-1)$个交点,这$2(n-1)$个交点将第n个圆分成了$2(n-1)$部分,每部分将已有的区域一分为二,这样就多了$2(n-1)$个区域,所以n个圆至多将平面分成$2+(2-1)× 2+(3-1)× 2+\cdots +2(n-1)=2+2[1+2+3+\cdots +(n-1)]=2× \frac{n(n-1)}{2}+2=[n(n-1)+2]$个区域.
(3)$[3n(n-1)+2]$ 解析:1个三角形最多将平面分为2个区域;第2个三角形与第1个三角形最多有6个交点,6个交点将第2个三角形的边分成了6段,这6段的每一段都将原来的每1个区域分成了2个区域,从而增加了6个区域,共分成2+6=8(个)区域;第3个三角形与前面两个三角形最多有$2× 6=12$(个)交点,从而增加了12个区域,共分成2+6+12=20(个)区域;…;第n个三角形与前面(n-1)个三角形最多有$6(n-1)$个交点,从而增加了$6(n-1)$个区域,所以n个三角形至多将平面分为$2+6+2× 6+\cdots +6(n-1)=2+[1+2+\cdots +(n-1)]× 6=[3n(n-1)+2]$个区域.
(4)$(2n^{2}+1)$ 解析:1组平行线最多将平面分为3个区域;第2组平行线与第1组平行线最多有4个交点,4个交点将第2组平行线分成了6部分,每一部分都将原来的每1个区域分成了2个区域,从而增加了6个区域,共分成3+6=9(个)区域;第3组平行线与前面两组平行线最多有$2× 4=8$(个)交点,从而增加了10个区域,共分成3+6+10=19(个)区域;…;第n组平行线与前面(n-1)组平行线最多有$4(n-1)$个交点,从而增加了$4(n-1)+2=(4n-2)$个区域,所以n组平行线至多将平面分为$3+6+10+\cdots +(4n-2)=1+2× [1+2+\cdots +(2n-1)]=(2n^{2}+1)$个区域.