《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

1. 某灭活疫苗的有效保存时间 $ T $(单位：h)与储藏的温度 $ t $(单位：$ ° C $)满足的函数关系为 $ T = e^{kt + b} $($ k $，$ b $ 为常数)，超过有效保存时间，疫苗将不能使用. 若在 $ 0 ° C $ 时的有效保存时间是 $ 1080 $ h，在 $ 10 ° C $ 时的有效保存时间是 $ 120 $ h，则该疫苗在 $ 15 ° C $ 时的有效保存时间是(C)

A.15 h
B.30 h
C.40 h
D.60 h

答案： 1.C

2. 里氏震级 $ M $ 的计算公式为 $ M = \lg A - \lg A_0 $，其中 $ A $ 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，$ A_0 $ 是相应的标准地震的振幅. 假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是 $ 1000 $，此时标准地震的振幅为 $ 0.001 $，则此次地震的震级为6级，9 级地震的最大振幅是 5 级地震最大振幅的10 000倍.

答案： 2.6 10 000

探究活动
例 1 某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修，排气扇恢复正常. 排气 $ 4 $ min 后，测得车库内的一氧化碳浓度为 $ 64 \ \mu L/L $，继续排气 $ 4 $ min，又测得一氧化碳浓度为 $ 32 \ \mu L/L $. 经检测知该地下车库一氧化碳浓度 $ y $（单位：$ \mu L/L $）与排气时间 $ t $（单位：min）存在函数关系 $ y = c\left(\frac{1}{2}\right)^{mt} $（$ c $，$ m $ 为常数）.
(1) 求 $ c $，$ m $ 的值；
(2) 若地下车库中一氧化碳浓度不高于 $ 0.5 \ \mu L/L $ 为正常，问：至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳浓度才能达到正常状态？
[一题多思]
思考 1. 哪些实际问题可以用指数函数模型表示？
思考 2. 涉及较为复杂的指数运算时，我们常会选择怎样的策略？
思考 3. 常见的对数型函数应用题有何特点？解题策略是怎样的？

答案： 例$1 (1)c=128,m=\frac{1}{4}$
(2)至少排气32 min,这个地下车库中的一氧化碳浓度才能达到正常状态.
[一题多思]
思考1.提示：有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y=N(1+p)^x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式.
思考2.提示：常常利用等式的两边同时取对数的方法，将指数运算转化为对数运算.
思考3.提示：对数型函数应用题一般都会给出含参数的函数解析式，其求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，然后从具体情境中提炼出数据，代入解析式求值，最后根据数值回答实际问题.