《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

知识点一 充分条件与必要条件
一般地，已知命题“若 $ p $，则 $ q $”，有如下结论：

答案： 知识点一
p⇒q p⇏q 充分 必要

知识点二 定理关系
(1)数学中的每一条判定定理都给出了相应结论成立的一个充分条件。
(2)数学中的每一条性质定理都给出了相应结论成立的一个必要条件。

答案： 知识点二
(1)充分
(2)必要
 

【概念辨析】
1. 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)。
(1)若 $ p \Rightarrow q $，则 $ p $ 的充分条件是 $ q $。(×)
(2)若 $ q $ 是 $ p $ 的必要条件，则 $ q $ 是唯一的。(×)
(3)如果“若 $ q $，则 $ p $”是真命题，那么 $ p $ 是 $ q $ 的必要条件。(√)
(4)如果“若 $ p $，则 $ q $”为假命题，那么 $ p $ 不是 $ q $ 的充分条件，但 $ q $ 可以是 $ p $ 的必要条件。(×)

答案： 【概念辨析】
1.
(1)×
(2)×
(3)√
(4)×  

2. “四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的(B)
A.充分条件
B.必要条件
C.充分条件与必要条件
D.无法判断

答案：  2.B 

3. 请思考并回答下列问题：
(1)若 $ p $ 是 $ q $ 的充分条件，则条件 $ p $ 是唯一的吗？
(2)“$ p $ 是 $ q $ 的充分条件”“$ q $ 是 $ p $ 的必要条件”“$ q $ 的一个充分条件是 $ p $”“$ p $ 的一个必要条件是 $ q $”，说的是同一个意思吗？

答案： 1. 对于问题$(1)$：
解：若$p$是$q$的充分条件，即$p\Rightarrow q$，条件$p$不是唯一的。
例如：$q$：$x = 1$，$p_1$：$x^2=1$，$p_2$：$x - 1=0$，$p_3$：$(x - 1)(x + 2)=0$。
因为$p_2\Rightarrow q$，$p_1$：$x^2 = 1$即$x=\pm1$，$p_1\nRightarrow q$；$p_3$：$(x - 1)(x + 2)=0$即$x = 1$或$x=-2$，$p_3\nRightarrow q$，而当$q$：$x = 1$时，$p$可以有多种形式（如$p$：$x-1 = 0$，$p$：$x^3=1$等）只要满足$p\Rightarrow q$即可，所以$p$不唯一。
2. 对于问题$(2)$：
解：“$p$是$q$的充分条件”即$p\Rightarrow q$；“$q$是$p$的必要条件”，根据必要条件的定义，若$p\Rightarrow q$，则$q$是$p$的必要条件；“$q$的一个充分条件是$p$”，根据充分条件的定义就是$p\Rightarrow q$；“$p$的一个必要条件是$q$”，根据必要条件的定义，若$p\Rightarrow q$，则$q$是$p$的必要条件。
所以“$p$是$q$的充分条件”“$q$是$p$的必要条件”“$q$的一个充分条件是$p$”“$p$的一个必要条件是$q$”说的是同一个意思，都是$p\Rightarrow q$。
综上，$(1)$ $p$不是唯一的；$(2)$ 是同一个意思。