《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

计算下列各式：
(1) $ (\sqrt{8^{\sqrt{3}}} × \sqrt[3]{3^{\sqrt{3}}})^{2\sqrt{3}} $；
(2) $ a^{\frac{\pi}{6}}a^{\frac{7\pi}{6}}a^{-\frac{4\pi}{3}}(a ＞ 0) $；
(3) $ \left( \frac{\pi^{\sqrt{3}}}{\sqrt[3]{\pi^{\sqrt{3}}}} \right)^{\frac{\sqrt{3}}{2}} $.

答案： $(1)4608. (2)1. (3)\pi.$

探究活动
例 已知 $ x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{5} $，则 $ x^{2} + x^{-2}= $7.
[一题多思]
思考 1. 本例中，若已知 $ x + x^{-1}=3 $，如何求 $ x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}} $ 的值？
思考 2. 本例中条件不变，如何求 $ x^{2} - x^{-2} $ 的值？
思考 3. 本例中，若把条件变为“$ x + x^{-1}=7 $”，你能求出 $ x^{3} + x^{-3} $ 的值吗？

答案： 例7[一题多思]思考1.提示：可设$m = x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}}，$两边平方后整理得$m^{2} = x + x^{-1} + 2，$将$x + x^{-1}$的值代入即可求得$m^{2} = 5.$因为m＞0，所以$m = \sqrt{5}，$即$x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}} = \sqrt{5}.$思考2.提示：将$x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}} = \sqrt{5}$两边平方得$x + x^{-1} + 2 = 5，$则$x + x^{-1} = 3，$将$x + x^{-1} = 3$两边平方得$x^{2} + x^{-2} + 2 = 9，$所以$x^{2} + x^{-2} = 7.$因为$(x^{3} - x^{-3})^{2} = (x^{2} + x^{-2} - 2)4 = 49 - 4 = 45，$所以$x^{2} - x^{-2} = \pm3\sqrt{5}.$思考3.提示：由$x + x^{-1} = 7$两边平方后整理可得$x^{2} + x^{-2} = 47，$所以$x^{3} + x^{-3} = (x + x^{-1})(x^{2} + x^{-2} - 1) = 7×46 = 322.$

已知 $ x + y = 12,xy = 9 $，且 $ x ＜ y $，求 $ \frac{x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}} $ 的值.

答案： $- \frac{\sqrt{3}}{3}.$