《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

探究活动
例 已知扇形的半径为 $ R $，圆心角是 $ \alpha $，弧长为 $ l $.
(1) 若 $ \alpha = 60^{\circ} $，$ R = 10 cm $，求扇形的弧长 $ l $；
(2) 若扇形的周长为 $ 20 cm $，当扇形的圆心角 $ \alpha $ 为多少弧度时，这个扇形的面积最大？

答案： 例
(1)$l=\frac{10\pi}{3}cm$.
(2)当$\alpha=2$时,这个扇形的面积最大,最大值是$25cm^2$.

1. 已知某扇形的周长是 24，则该扇形的面积的最大值是 ()

A.28
B.36
C.42
D.50

答案： 1.B

2. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表之一. 其中“方田”章给出计算弧田面积的经验公式：弧田面积 $ = \frac{1}{2} (弦 × 矢 + 矢^{2}) $. 弧田由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差. 按照上述经验公式计算所得的弧田面积与实际面积之间存在误差. 如图，现有圆弧所对圆心角为 $ \frac{2\pi}{3} $，弦长等于 $ 2\sqrt{3} m $ 的弧田.
(1) 计算该弧田的实际面积；
(2) 按照《九章算术》中计算弧田面积的经验公式计算所得结果与 (1) 中计算的弧田实际面积相差多少？(取 $ \pi $ 的近似值为 3，$ \sqrt{3} $ 的近似值为 1.7)

答案： 1. （1）求弧田的实际面积：
设圆$O$的半径为$r$，圆心到弦的距离为$d$。
已知圆心角$\alpha=\frac{2\pi}{3}$，弦长$AB = 2\sqrt{3}$。根据三角函数关系，$\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{\frac{AB}{2}}{r}$，$\cos\frac{\alpha}{2}=\frac{d}{r}$。
因为$\alpha=\frac{2\pi}{3}$，则$\frac{\alpha}{2}=\frac{\pi}{3}$，$\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$。
由$\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{\frac{AB}{2}}{r}$，即$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{r}$，解得$r = 2$。
由$\cos\frac{\alpha}{2}=\frac{d}{r}$，可得$d = r\cos\frac{\alpha}{2}=2×\frac{1}{2}=1$。
扇形面积公式$S_{扇}=\frac{1}{2}\alpha r^{2}$（$\alpha$为圆心角弧度数），这里$\alpha=\frac{2\pi}{3}$，$r = 2$，则$S_{扇}=\frac{1}{2}×\frac{2\pi}{3}×2^{2}=\frac{4\pi}{3}$。
三角形面积公式$S_{\triangle}=\frac{1}{2}× AB× d$，$AB = 2\sqrt{3}$，$d = 1$，则$S_{\triangle}=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×1=\sqrt{3}$。
弧田实际面积$S = S_{扇}-S_{\triangle}$，把$\pi\approx3$，$\sqrt{3}\approx1.7$代入：
$S=\frac{4\pi}{3}-\sqrt{3}\approx\frac{4×3}{3}-1.7=4 - 1.7=2.3(m^{2})$。
2. （2）求经验公式结果与实际面积的差：
已知“矢”$=r - d$，$r = 2$，$d = 1$，所以矢$=2 - 1 = 1$，弦$=2\sqrt{3}$。
根据弧田面积经验公式$S'=\frac{1}{2}(弦×矢 + 矢^{2})$，则$S'=\frac{1}{2}(2\sqrt{3}×1+1^{2})=\sqrt{3}+\frac{1}{2}$。
把$\sqrt{3}\approx1.7$代入得$S'\approx1.7 + 0.5=2.2(m^{2})$。
两者差值$\vert S - S'\vert=\vert2.3 - 2.2\vert=0.1(m^{2})$。
综上，（1）弧田的实际面积约为$2.3m^{2}$；（2）按照经验公式计算所得结果与弧田实际面积相差约$0.1m^{2}$。