《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

探究活动
例 2 已知 $ a ＞ b ＞ 1 $，证明下列不等式：
(1) $ \frac{b + 1}{a + 1} ＞ \frac{b}{a} $；(2) $ a + \frac{1}{a} ＞ b + \frac{1}{b} $.

答案： 例2 证明：
(1)$\frac{b + 1}{a + 1} - \frac{b}{a} = \frac{a(b + 1) - b(a + 1)}{(a + 1)a} = \frac{ab + a - ab - b}{(a + 1)a} = \frac{a - b}{(a + 1)a}$.因为$a ＞ b ＞ 1$，所以$a - b ＞ 0$，$a + 1 ＞ 0$，$a ＞ 0$，所以$\frac{a - b}{(a + 1)a} ＞ 0$，即$\frac{b + 1}{a + 1} ＞ \frac{b}{a}$.
(2)$a + \frac{1}{a} - (b + \frac{1}{b}) = a - b + \frac{1}{a} - \frac{1}{b} = a - b + \frac{b - a}{ab} = (a - b)(1 - \frac{1}{ab}) = (a - b) \cdot \frac{ab - 1}{ab}$.因为$a ＞ b ＞ 1$，所以$a - b ＞ 0$，$ab ＞ 1$，所以$(a - b) \cdot \frac{ab - 1}{ab} ＞ 0$，即$a + \frac{1}{a} ＞ b + \frac{1}{b}$.

已知 $ a ＞ 0 $，求证：$ a + \frac{1}{a} \geq 2 $.

答案： 证明：因为$a ＞ 0$，所以$a + \frac{1}{a} = (\sqrt{a})^{2} + (\frac{1}{\sqrt{a}})^{2} \geqslant 2\sqrt{a \cdot \frac{1}{a}} = 2$.当且仅当$\sqrt{a} = \frac{1}{\sqrt{a}}$，即$a = 1$时，等号成立.

【知识清单】
(1) 性质1：$a ＞ b \Leftrightarrow$b ＜ a.
(2) 性质2：$a ＞ b$，$b ＞ c \Rightarrow$a ＞ c.
(3) 性质3：$a ＞ b \Leftrightarrow a + c ＞$b + c.
(4) 性质4：$a ＞ b$，$c ＞ 0 \Rightarrow ac ＞$bc；$a ＞ b$，$c ＜ 0 \Rightarrow ac$＜$bc$.
(5) 性质5：$a ＞ b$，$c ＞ d \Rightarrow a + c$＞$b + d$.
(6) 性质6：$a ＞ b ＞ 0$，$c ＞ d ＞ 0 \Rightarrow ac$＞$bd$.
(7) 性质7：$a ＞ b ＞ 0 \Rightarrow a^n ＞ b^n$($n \in \mathbf{N}$，$n \geq 2$).

答案： 【知识清单】
(1)$b ＜ a$
(2)$a ＞ c$
(3)$b + c$
(4)$bc ＜$
(5)$＞$
(6)$＞$ 

【概念辨析】
1. 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”).
(1) 若$a ＞ b$，则$ac ＞ bc$. (×)
(2) 同向不等式相加与相乘的条件是一致的. (×)
(3) 设$a$，$b \in \mathbf{R}$，且$a ＞ b$，则$a^3 ＞ b^3$. (√)
(4) 若$a + c ＞ b + d$，则$a ＞ b$，$c ＞ d$. (×)

答案： 【概念辨析】1.
(1)×
(2)×
(3)√
(4)× 

2. 若$a ＞ b$，$c ＞ d$，则下列不等关系中不一定成立的是(B)
A.$a - b ＞ d - c$
B.$a + d ＞ b + c$
C.$a - c ＞ b - c$
D.$a - c ＜ a - d$

答案：  2.B 

3. 请思考并回答下列问题：
(1) 能直接在等式$ax = 2$的两边同时除以$a$，从而得到$x = \frac{2}{a}$吗？为什么？
(2) 在日常生活中，糖水中加些糖后会变得更甜，盐水中加些盐后会变得更咸……此类现象能利用不等式来表示吗？
(3) 应用不等式的性质时应注意哪些问题？

答案： 1. （1）
解：不能直接在等式$ax = 2$的两边同时除以$a$得到$x=\frac{2}{a}$。
原因：当$a = 0$时，$a$作除数无意义；只有当$a\neq0$时，根据等式的基本性质$2$（等式两边同时乘或除以同一个不为$0$的整式，等式仍然成立），才能在等式$ax = 2$两边同时除以$a$，得到$x=\frac{2}{a}$。
2. （2）
解：设糖水（或盐水）中糖（或盐）的质量为$m$，糖水（或盐水）的质量为$n$，且$0\lt m\lt n$，再加入质量为$a(a\gt0)$的糖（或盐）。
原来糖水（或盐水）的浓度为$\frac{m}{n}$，加入糖（或盐）后糖水（或盐水）的浓度为$\frac{m + a}{n + a}$。
因为$\frac{m + a}{n + a}-\frac{m}{n}=\frac{n(m + a)-m(n + a)}{n(n + a)}=\frac{mn+an-mn - ma}{n(n + a)}=\frac{a(n - m)}{n(n + a)}$，又因为$n\gt m\gt0$，$a\gt0$，所以$\frac{a(n - m)}{n(n + a)}\gt0$，即$\frac{m + a}{n + a}\gt\frac{m}{n}$。所以此类现象可以用不等式$\frac{m}{n}\lt\frac{m + a}{n + a}(n\gt m\gt0,a\gt0)$来表示。
3. （3）
解：应用不等式的性质时应注意：
不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
在运用不等式的性质$3$（不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变）时，要特别注意“变号”问题。例如：由$-2x\gt4$，两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得到$x\lt - 2$。
不等式的性质是解不等式的依据，在解不等式时要正确运用这些性质。