《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

知识点一 指数函数的概念
一般地，函数$y = a^x$($a＞0$，且$a\neq1$)叫做指数函数，其中$x$是自变量，定义域是$\mathbf{R}$.

答案： 知识点一 $y = a^x$ 指数 $x$

知识点二 指数增长模型
在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设原有量为$N$，每次的增长率为$p$，经过$x$次增长，该量增长到$y$，则$y = N(1 + p)^x(x\in\mathbf{N})$.形如$y=ka^x$($k\in\mathbf{R}$，且$k\neq0$；$a＞0$，且$a\neq1$)的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型.

答案： 知识点二 $y=ka^x$ 增长 衰减  

 【概念辨析】
1. 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”).
(1) $y = x^5(x＞0$，且$x\neq1$)是指数函数.(×)
(2) $y = (-2)^x$是指数函数.(×)
(3) 指数函数的定义域为$(0,+\infty)$.(×)
(4) $y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^x$是指数衰减型函数模型.(√)

答案： 【概念辨析】 1.
(1)×
(2)×
(3)×
(4)√  

2. 某工厂生产某种产品的月产量$y$(单位：万件)与月份$x$之间的关系为$y = a\left(\dfrac{3}{2}\right)^x + b$.现已知该工厂今年1月、2月分别生产该产品3万件、5万件，则此工厂今年3月生产该产品8万件.

答案： 2.8  

3. 请思考并回答下列问题：
(1) 如果原有量为$N$，每次衰减率为$p$，经过$x$次衰减，该量衰减到$y$，那么$y$的表达式是怎样的？
(2) 将一张报纸连续对折，折叠次数$x$与对应的层数$y$之间存在什么关系？折叠后的面积$S$(设原面积为1)与折叠的次数有怎样的关系？

答案： 1. （1）
解：
第一次衰减后，量为$y_1 = N(1 - p)$；
第二次衰减后，量为$y_2=y_1(1 - p)=N(1 - p)(1 - p)=N(1 - p)^2$；
以此类推，经过$x$次衰减后，$y = N(1 - p)^x$（$0\lt p\lt1$，$x\in N$）。
2. （2）
解：
对折$1$次，层数$y = 2^1$；对折$2$次，层数$y = 2^2$；对折$3$次，层数$y = 2^3$；$\cdots$，所以折叠次数$x$与对应的层数$y$之间的关系是$y = 2^x$（$x\in N$）。
因为原面积$S_0 = 1$，对折$1$次，面积$S=\frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^1$；对折$2$次，面积$S=\frac{1}{2^2}=(\frac{1}{2})^2$；对折$3$次，面积$S=\frac{1}{2^3}=(\frac{1}{2})^3$；$\cdots$，所以折叠后的面积$S$（设原面积为$1$）与折叠次数$x$的关系是$S = (\frac{1}{2})^x$（$x\in N$）。
综上，（1）$y = N(1 - p)^x$（$0\lt p\lt1$，$x\in N$）；（2）$y = 2^x$（$x\in N$），$S = (\frac{1}{2})^x$（$x\in N$）。