《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

2. 函数 $f(x) = \log_2x + x^2 + m$ 在区间 $(1,2)$ 内存在零点，则实数 $m$ 的取值范围是(B)

A.$(-\infty,-5)$
B.$(-5,-1)$
C.$(1,5)$
D.$(5,+\infty)$

答案： 2.B

探究活动
例2 (1) 函数 $f(x) =\begin{cases}x^2 + 2x - 3,x\leqslant0,\\-2 + \ln x,x＞0\end{cases}$ 的零点个数为(C)
A.0
B.1
C.2
D.3

答案： 例2
(1)C
 

 (2) 函数 $f(x) = 2^x + \lg(x + 1) - 2$ 有1个零点.
一题多思
思考1. 本例(2)可以用哪些方法求解？如果你只用了一种方法，想一想还有其他方法吗？
思考2. 若 $f(x) =\begin{cases}x + 3,x\leqslant1,\\-x^2 + 2x + 3,x＞1,\end{cases}$ 则函数 $g(x) = f(x) - e^x$ 有几个零点？
思考3. 若函数 $f(x) =\begin{cases}2^x - a,x\leqslant0,\\\ln x,x＞0\end{cases}$ 有两个零点，你能求出实数 $a$ 的取值范围吗？

答案：

(2)1
[一题多思]
思考1.提示：在同一平面直角坐标系中作出函数$h(x)=2 - 2^{x}$和$g(x)=\lg(x + 1)$的草图如图所示。

由图象知，函数$g(x)=\lg(x + 1)$和$h(x)=2 - 2^{x}$的图象有且只有一个交点，
故$f(x)=2^{x}+\lg(x + 1)-2$有且只有一个零点.
思考2.提示：有2个零点.
思考3.提示：实数$a$的取值范围是$(0,1]$.

1. 函数 $f(x) = (\frac{1}{2})^x - x^3 - 2$ 在定义域内的零点个数是(B)

A.0
B.1
C.2
D.3

答案： 1.B

2. 已知函数 $f(x) =\begin{cases}|2^x - 1|,x\leqslant2,\frac{3}{x - 1},x＞2,\end{cases}$ 若方程 $f(x) = a$ 有三个不同的实数根，则实数 $a$ 的取值范围是(B)

A.$(1,3)$
B.$(0,1)$
C.$(0,3)$
D.$[0,1]$

答案： 2.B