《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

知识点一 子集与真子集
1. 子集
(1) 定义：一般地，对于两个集合 $ A $，$ B $，如果集合 $ A $ 中任意一个元素都是集合 $ B $ 中的元素，就称集合 $ A $ 为集合 $ B $ 的子集。
(2) 符号：$ A $⊆$ B $(或 $ B $⊇$ A $)。
(3) 读法：$ A $包含于$ B $(或 $ B $包含$ A $)。
(4) 图示：

2. 真子集
(1) 定义：如果集合 $ A $⊆$ B $，但存在元素 $ x \in B $，且 $ x \notin A $，就称集合 $ A $ 是集合 $ B $ 的真子集。
(2) 符号：$ A \subsetneqq B $(或 $ B \supsetneqq A $)。
(3) 读法：$ A $真包含于$ B $(或 $ B $真包含$ A $)。
(4) 图示：

答案： 1.
(1)任意一个
(2)⊆ ⊇
(3)包含于 包含 2.
(1)⊆
(3)真包含于 真包含

知识点二 空集的概念
(1) 定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集。
(2) 符号：∅。
(3) 规定：空集是任何集合的子集。

答案：
(1)任何
(2)∅
(3)子集

知识点三 集合相等
(1) 定义：一般地，如果集合 $ A $ 的任何一个元素都是集合 $ B $ 的元素，同时集合 $ B $ 的任何一个元素都是集合 $ A $ 的元素，那么集合 $ A $ 与集合 $ B $ 相等，记作A = B。
(2) 符号：若 $ A \subseteq B $，且B⊆A，则 $ A = B $。
(3) 图示：

答案：
(1)A = B
(2)B⊆A

知识点四 集合间关系的性质
(1) 任何一个集合都是它本身的子集，即 $ A $⊆$ A $。
(2) 对于集合 $ A $，$ B $，$ C $，
① 若 $ A \subseteq B $，且 $ B \subseteq C $，则 $ A $⊆$ C $；
② 若 $ A \subsetneqq B $，$ B \subsetneqq C $，则 $ A \subsetneqq C $；
(3) 若 $ A \subseteq B $，$ A \neq B $，则 $ A \subsetneqq B $。

答案：
(1)⊆
(2)①⊆  

【概念辨析】
1. 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)。
(1) 集合 $ \{ 0 \} $ 是空集。()
(2) 空集是任何集合的真子集。()
(3) 若 $ A \subsetneqq B $，则 $ B $ 中至少有一个元素不属于 $ A $。()
(4) 若 $ B \subseteq A $，$ a \notin A $，则 $ a \notin B $。()

答案： 【概念辨析】 1.
(1)×
(2)×
(3)√
(4)√ 

2. 下列四个集合中，是空集的为()
A.$ \{ 0 \} $
B.$ \{ x | x ＞ 8 $，且 $ x ＜ 5 \} $
C.$ \{ x | x ^ { 2 } - 1 = 0 \} $
D.$ \{ x | x ＞ 4 \} $

答案：  2.B

3. 请思考并回答下列问题：
(1) 若集合 $ A $ 中有 $ n $ 个元素，则 $ A $ 的子集有多少个呢？
(2) 若 $ A \subseteq B $，则 $ A $ 是 $ B $ 中部分元素组成的集合。你认为该说法对吗？

答案： 1. （1）
解：
对于集合$A$中有$n$个元素，求子集个数。
从$n$个元素中选$0$个元素组成子集（空集$\varnothing$），根据组合数公式$C_{n}^k=\frac{n!}{k!(n - k)!}$，此时$k = 0$，$C_{n}^0=\frac{n!}{0!(n-0)!}=1$；
从$n$个元素中选$1$个元素组成子集，$k = 1$，$C_{n}^1=\frac{n!}{1!(n - 1)!}=n$；
从$n$个元素中选$2$个元素组成子集，$k = 2$，$C_{n}^2=\frac{n!}{2!(n - 2)!}=\frac{n(n - 1)}{2}$；
$\cdots$
从$n$个元素中选$n$个元素组成子集（集合$A$本身），$k = n$，$C_{n}^n=\frac{n!}{n!(n - n)!}=1$。
根据二项式定理$(a + b)^n=\sum_{k = 0}^{n}C_{n}^ka^{n - k}b^{k}$，当$a=b = 1$时，$(1 + 1)^n=\sum_{k = 0}^{n}C_{n}^k$。
所以集合$A$的子集个数为$2^n$个（因为$(1 + 1)^n=2^n$）。
2. （2）
答案：不对。
解析：当$A\subseteq B$时，$A$可能是$B$的全部元素组成的集合（即$A = B$时，$A$也是$B$的子集），也可能是$B$中部分元素组成的集合。
综上，（1）集合$A$的子集有$2^n$个；（2）该说法不对。