《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

知识点一 对数的运算性质
如果 $ a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1 $，$ M ＞ 0 $，$ N ＞ 0 $，那么
(1)$ \log_a(MN) = $$\log_a M + \log_a N$；
(2)$ \log_a\frac{M}{N} = $$\log_a M - \log_a N$；
(3)$ \log_aM^n = $$n\log_a M$$ (n \in \mathbf{R}) $.

答案： 知识点一
(1)$\log_a M + \log_a N$
(2)$\log_a M - \log_a N$
(3)$n\log_a M$

知识点二 对数换底公式
$ \log_ab = \frac{\log_cb}{\log_ca}(a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1 $，$ b ＞ 0 $，$ c ＞ 0 $，且 $ c \neq 1) $.
特别地，$ \log_ab · \log_ba = $.

答案： 知识点二
根据对数换底公式$\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}$，则$\log_ab·\log_ba=\frac{\log_cb}{\log_ca}·\frac{\log_ca}{\log_cb}=1$。
概念辨析
1.
(1)根据对数运算法则$\log_a(MN)=\log_aM + \log_aN$（$M\gt0,N\gt0$），$\log_a\frac{M}{N}=\log_aM-\log_aN$（$M\gt0,N\gt0$），积、商的对数可以化为对数的和、差，所以（1）正确（√）。
(2)$\log_a(xy)=\log_ax+\log_ay$（$x\gt0,y\gt0$），而不是$\log_a(xy)=\log_ax·\log_ay$，所以（2）错误（×）。
(3)对数的真数须大于$0$，$\log_2(-5)$无意义，所以（3）错误（×）。
(4)根据换底公式$\log_ab·\log_bc=\frac{\log_cb}{\log_ca}·\frac{\log_cc}{\log_cb}=\frac{\log_cc}{\log_ca}=\log_ac$，所以（4）正确（√）。
2. 根据换底公式$\log_29×\log_32=\frac{\log_39}{\log_32}×\log_32=\log_39 = 2$。
3.
(1)可以逆向使用对数的运算性质。例如：$\log_aM+\log_aN=\log_a(MN)$（$M\gt0,N\gt0$），$\log_aM-\log_aN=\log_a\frac{M}{N}$（$M\gt0,N\gt0$）等这些对数运算性质都可以逆向使用。
(2)换底公式的作用是把不同底数的对数化为同底数的对数，便于利用对数的运算性质进行化简、求值和证明等。
综上，知识点二答案为$1$；概念辨析1.（1）√（2）×（3）×（4）√；2. $2$；3.（1）可以逆向使用对数的运算性质；（2）把不同底数的对数化为同底数的对数，便于利用对数的运算性质进行化简、求值和证明等。

 【概念辨析】
1. 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”).
(1)积、商的对数可以化为对数的和、差.(√)
(2)$ \log_a(xy) = \log_ax \cdot \log_ay $.(×)
(3)$ \log_2(-5)^2 = 2\log_2(-5) $.(×)
(4)若 $ a ＞ 0 $，$ b ＞ 0 $，$ c ＞ 0 $，且 $ a \neq 1 $，$ b \neq 1 $，则 $ \log_ab \cdot \log_bc = \log_ac $.(√)

答案： 【概念辨析】
(1)√
(2)×
(3)×
(4)√  

2. $ \log_29 × \log_32 = $2.

答案： 解：根据换底公式$\log_{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}$，则$\log_{2}9×\log_{3}2=\frac{\lg9}{\lg2}×\frac{\lg2}{\lg3}$。
因为$\lg9 = \lg3^{2}=2\lg3$，所以$\frac{\lg9}{\lg2}×\frac{\lg2}{\lg3}=\frac{2\lg3}{\lg2}×\frac{\lg2}{\lg3}=2$。
故答案为$2$。

3. 请思考并回答下列问题：
(1)可以逆向使用对数的运算性质吗？
(2)换底公式的作用是什么？

答案： 1. 对于问题（1）：
对数的运算性质有$\log_{a}(M\cdot N)=\log_{a}M + \log_{a}N$（$a\gt0,a\neq1,M\gt0,N\gt0$），$\log_{a}\frac{M}{N}=\log_{a}M-\log_{a}N$（$a\gt0,a\neq1,M\gt0,N\gt0$），$\log_{a}M^{n}=n\log_{a}M$（$a\gt0,a\neq1,M\gt0$）。
这些运算性质是可以逆向使用的。例如：$\log_{a}M+\log_{a}N = \log_{a}(M\cdot N)$（$a\gt0,a\neq1,M\gt0,N\gt0$）；$\log_{a}M-\log_{a}N=\log_{a}\frac{M}{N}$（$a\gt0,a\neq1,M\gt0,N\gt0$）；$n\log_{a}M=\log_{a}M^{n}$（$a\gt0,a\neq1,M\gt0$）。
2. 对于问题（2）：
换底公式为$\log_{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}$（$a\gt0,a\neq1,c\gt0,c\neq1,b\gt0$）。
换底公式的作用：
（1）把不同底数的对数化为同底数的对数，方便进行对数的运算和比较大小。例如，计算$\log_{2}5+\log_{4}3$，可利用换底公式$\log_{4}3 = \frac{\log_{2}3}{\log_{2}4}=\frac{1}{2}\log_{2}3$，则$\log_{2}5+\log_{4}3=\log_{2}5+\frac{1}{2}\log_{2}3=\log_{2}5+\log_{2}\sqrt{3}=\log_{2}(5\sqrt{3})$。
（2）在对数的化简和证明中，通过换底可以将对数表达式转化为更便于处理的形式。
综上，（1）可以逆向使用对数的运算性质；（2）换底公式的作用是把不同底数的对数化为同底数的对数，方便对数的运算、比较大小、化简和证明等。

探究活动
例1 (1)若 $ \lg 2 = a $，$ \lg 3 = b $，则 $ \frac{\lg 12}{\lg 15} = $(A)
A.$ \frac{2a + b}{1 - a + b} $
B.$ \frac{2a + b}{1 + a + b} $
C.$ \frac{a + 2b}{1 - a + b} $
D.$ \frac{a + 2b}{1 + a + b} $

答案： （1）
解：
根据对数运算法则$\lg M+\lg N = \lg(MN)$，$\lg M^n=n\lg M$。
- 先对$\lg12$进行化简：
$\lg12=\lg(3×2^2)=\lg3 + 2\lg2$，已知$\lg2 = a$，$\lg3 = b$，则$\lg12 = 2a + b$。
- 再对$\lg15$进行化简：
$\lg15=\lg(3×5)=\lg3+\lg5$，又因为$\lg5=\lg\frac{10}{2}=\lg10-\lg2 = 1 - a$，所以$\lg15=\lg3+(1 - \lg2)=b + 1 - a$。
那么$\frac{\lg12}{\lg15}=\frac{2a + b}{1 - a + b}$。
（2）
- ①
解：
根据平方差公式$x^2 - y^2=(x + y)(x - y)$，对$(\lg5)^2+2\lg2-(\lg2)^2$进行变形：
$\begin{aligned}&(\lg5)^2 - (\lg2)^2+2\lg2\\=&(\lg5+\lg2)(\lg5 - \lg2)+2\lg2\\\end{aligned}$
因为$\lg5+\lg2=\lg(5×2)=\lg10 = 1$，所以上式$=(1)(\lg5 - \lg2)+2\lg2=\lg5+\lg2=\lg(5×2)=1$。
②
解：
先对分子分母分别化简：
分子：
$\lg3+\frac{2}{5}\lg9+\frac{3}{5}\lg\sqrt{27}-\lg\sqrt{3}$
$=\lg3+\frac{2}{5}\lg3^2+\frac{3}{5}\lg3^{\frac{3}{2}}-\lg3^{\frac{1}{2}}$
根据$n\lg M=\lg M^n$可得：
$=\lg3+\frac{4}{5}\lg3+\frac{9}{10}\lg3-\frac{1}{2}\lg3$
$=(1 + \frac{4}{5}+\frac{9}{10}-\frac{1}{2})\lg3=\frac{11}{5}\lg3$
分母：
$\lg81-\lg27=\lg\frac{81}{27}=\lg3$
所以$\frac{\lg3+\frac{2}{5}\lg9+\frac{3}{5}\lg\sqrt{27}-\lg\sqrt{3}}{\lg81 - \lg27}=\frac{\frac{11}{5}\lg3}{\lg3}=\frac{11}{5}$。
③
解：
根据对数运算法则$\log_aM-\log_aN=\log_a\frac{M}{N}$，$\log_aM+\log_aN=\log_a(MN)$，$n\log_aM=\log_aM^n$。
$\begin{aligned}&\log_535-2\log_5\frac{7}{3}+\log_57-\log_51.8\\=&\log_535-\log_5(\frac{7}{3})^2+\log_57-\log_5\frac{9}{5}\\=&\log_5\frac{35×7}{(\frac{7}{3})^2×\frac{9}{5}}\\=&\log_5(35×7×\frac{9}{49}×\frac{5}{9})\\=&\log_525\\=&\log_55^2\\=&2\end{aligned}$
综上，（1）答案为$\boldsymbol{A}$；（2）①$\boldsymbol{1}$；②$\boldsymbol{\frac{11}{5}}$；③$\boldsymbol{2}$。

(2)计算：① $ (\lg 5)^2 + 2\lg 2 - (\lg 2)^2 $；
② $ \frac{\lg 3 + \frac{2}{5}\lg 9 + \frac{3}{5}\lg \sqrt{27} - \lg \sqrt{3}}{\lg 81 - \lg 27} $；
③ $ \log_535 - 2\log_5\frac{7}{3} + \log_57 - \log_51.8 $.

答案： 1. ①
解：
对$(\lg5)^2 + 2\lg2-(\lg2)^2$进行变形，根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，这里$a=\lg5$，$b = \lg2$，则$(\lg5)^2-(\lg2)^2+2\lg2=(\lg5+\lg2)(\lg5 - \lg2)+2\lg2$。
因为$\lg a+\lg b=\lg(ab)$，所以$\lg5+\lg2=\lg(5×2)=\lg10 = 1$。
那么原式$=(\lg5 - \lg2)+2\lg2=\lg5+\lg2$。
又因为$\lg5+\lg2=\lg(5×2)=\lg10 = 1$。
2. ②
解：
先化简分子：
根据对数运算法则$n\lg a=\lg a^{n}$，$\frac{2}{5}\lg9=\frac{2}{5}\lg3^{2}=\frac{4}{5}\lg3$，$\frac{3}{5}\lg\sqrt{27}=\frac{3}{5}\lg3^{\frac{3}{2}}=\frac{3}{5}×\frac{3}{2}\lg3=\frac{9}{10}\lg3$，$\lg\sqrt{3}=\frac{1}{2}\lg3$。
分子$\lg3+\frac{2}{5}\lg9+\frac{3}{5}\lg\sqrt{27}-\lg\sqrt{3}=\lg3+\frac{4}{5}\lg3+\frac{9}{10}\lg3-\frac{1}{2}\lg3$。
通分计算：$\lg3×(1 + \frac{4}{5}+\frac{9}{10}-\frac{1}{2})=\lg3×(\frac{10 + 8+9 - 5}{10})=\lg3×\frac{22}{10}=\frac{11}{5}\lg3$。
再化简分母：$\lg81-\lg27=\lg\frac{81}{27}=\lg3$。
所以原式$=\frac{\frac{11}{5}\lg3}{\lg3}=\frac{11}{5}$。
3. ③
解：
根据对数运算法则$\log_aM-\log_aN=\log_a\frac{M}{N}$，$n\log_aM=\log_aM^{n}$。
$\log_535-2\log_5\frac{7}{3}+\log_57-\log_51.8=\log_535-\log_5(\frac{7}{3})^2+\log_57-\log_5\frac{9}{5}$。
$=\log_5(35×7)-\log_5(\frac{49}{9}×\frac{9}{5})$。
$=\log_5(245)-\log_5(\frac{49}{5})$。
$=\log_5\frac{245}{\frac{49}{5}}=\log_5(245×\frac{5}{49})$。
$=\log_525$。
因为$5^{2}=25$，所以$\log_525 = 2$。
综上，①的答案是$1$；②的答案是$\frac{11}{5}$；③的答案是$2$。