《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

探究活动
例2 (1) 已知$-1 ＜ x ＜ 4$，$2 ＜ y ＜ 3$，则$x - y$的取值范围为-4 ＜ x - y ＜ 2，$3x + 2y$的取值范围为1 ＜ 3x + 2y ＜ 18.

答案： 例2
(1)$-4 ＜ x - y ＜ 2$ $1 ＜ 3x + 2y ＜ 18$
 

(2) 已知$1 ＜ a ＜ 2$，$2 ＜ b ＜ 3$，求$3a - b$与$\frac{a}{b}$的取值范围.
一题多思
思考1. 本例(1)中，若把条件改为“$-4 \leq x - y \leq -1$，$-1 \leq 4x - y \leq 5$”，求$9x - y$的取值范围.
思考2. 本例(2)中，若把条件改为“$-6 ＜ a ＜ 8$，$2 ＜ b ＜ 3$”，求$\frac{a}{b}$的取值范围.

答案：
(2)$0 ＜ 3a - b ＜ 4$，$\frac{1}{3} ＜ \frac{a}{b} ＜ 1$。[一题多思]思考1.提示：$-1 \leq 9x - y \leq 20$。思考2.提示：$-3 ＜ \frac{a}{b} ＜ 4$。

1. 已知$-1 ＜ a ＜ 5$，$-3 ＜ b ＜ 1$，则下列结论错误的是(D)
A.$-15 ＜ ab ＜ 5$
B.$-4 ＜ a + b ＜ 6$
C.$-2 ＜ a - b ＜ 8$
D.$-\frac{5}{3} ＜ \frac{a}{b} ＜ 5$
 

答案： 1.D  

2. 已知$-3 \leq \alpha \leq -1$，$-2 \leq \beta \leq -\frac{1}{2}$，求$2\alpha - \frac{\beta}{2}$与$\beta - \frac{2\alpha}{3}$的取值范围.
 

答案： 1. 求$2\alpha-\frac{\beta}{2}$的取值范围：
已知$-3\leq\alpha\leq - 1$，根据不等式的性质，不等式两边同时乘以一个正数，不等号方向不变。
对于$2\alpha$，因为$2\gt0$，所以$2×(-3)\leq2\alpha\leq2×(-1)$，即$-6\leq2\alpha\leq - 2$。
又因为$-2\leq\beta\leq-\frac{1}{2}$，则$\frac{1}{2}\leq-\frac{\beta}{2}\leq1$（不等式两边同时乘以$-\frac{1}{2}$，不等号方向改变）。
再根据不等式的可加性：若$a\leq x\leq b$，$c\leq y\leq d$，则$a + c\leq x + y\leq b + d$。
对于$2\alpha-\frac{\beta}{2}=(2\alpha)+(-\frac{\beta}{2})$，有$-6+\frac{1}{2}\leq2\alpha-\frac{\beta}{2}\leq - 2 + 1$。
计算$-6+\frac{1}{2}=-\frac{12 + 1}{2}=-\frac{11}{2}$，$-2 + 1=-1$，所以$-\frac{11}{2}\leq2\alpha-\frac{\beta}{2}\leq - 1$。
2. 求$\beta-\frac{2\alpha}{3}$的取值范围：
已知$-3\leq\alpha\leq - 1$，则$\frac{2}{3}\leq-\frac{2\alpha}{3}\leq2$（不等式两边同时乘以$-\frac{2}{3}$，不等号方向改变）。
又因为$-2\leq\beta\leq-\frac{1}{2}$。
对于$\beta-\frac{2\alpha}{3}=\beta+(-\frac{2\alpha}{3})$，根据不等式的可加性：
有$-2+\frac{2}{3}\leq\beta-\frac{2\alpha}{3}\leq-\frac{1}{2}+2$。
计算$-2+\frac{2}{3}=\frac{-6 + 2}{3}=-\frac{4}{3}$，$-\frac{1}{2}+2=\frac{-1 + 4}{2}=\frac{3}{2}$，所以$-\frac{4}{3}\leq\beta-\frac{2\alpha}{3}\leq\frac{3}{2}$。
综上，$2\alpha-\frac{\beta}{2}$的取值范围是$\left[-\frac{11}{2},-1\right]$；$\beta-\frac{2\alpha}{3}$的取值范围是$\left[-\frac{4}{3},\frac{3}{2}\right]$。