《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

知识点一 同角三角函数的基本关系式
(1) 平方关系：$\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1$.
(2) 商数关系：$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tan\alpha (\alpha \neq k\pi + \frac{\pi}{2},k \in \mathbf{Z})$.

答案： 知识点一
$(1)\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1 (2)\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tan\alpha (\alpha \neq k\pi + \frac{\pi}{2},k \in \mathbf{Z})$

知识点二$ $同角三角函数基本关系式的变形　　
$(1) \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $的变形：　　
$ \sin^2 \alpha = $　　$1 - \cos^{2}\alpha$　　；　　
$ \cos^2 \alpha = $　　$1 - \sin^{2}\alpha$　　$.$　　
$(2) \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \left( \alpha \neq k\pi + \frac{\pi}{2}, k \in \mathbf{Z} \right) $的变形：　　
$ \sin \alpha = $　　$\cos\alpha\tan\alpha$　　；　　
$ \cos \alpha = $　　$\frac{\sin\alpha}{\tan\alpha}$　　$.$　　

答案： 知识点二
$(1)1 - \cos^{2}\alpha 1 - \sin^{2}\alpha (2)\cos\alpha\tan\alpha \frac{\sin\alpha}{\tan\alpha}$
 

 【概念辨析】
1. 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”).
(1) 对于任意角 $ \alpha, \beta $，均有 $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \beta = 1 $. (×)
(2) 存在角 $ \alpha $，使得 $ \sin \alpha = \cos \alpha = \frac{1}{2} $. (×)
(3) 存在角 $ \alpha $，使得 $ \tan \alpha = 1, \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} $. (√)
(4) 对于任意角 $ \alpha $，$ \tan \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} $ 都成立. (×)
(5) $ (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha $. (√)

答案： $【$概念辨析$】$　　
$1.(1)× (2)× (3)\surd (4)× (5)\surd $　　

2. 若 $ \sin \alpha = \frac{4}{5} $，且 $ \alpha $ 是第二象限角，则 $ \tan \alpha = $ (A)
A.$ -\frac{4}{3} $
B.$ \frac{3}{4} $
C.$ \pm \frac{3}{4} $
D.$ \pm \frac{4}{3} $

答案： A

3. 请思考并回答下列问题：
(1) $ \sin^2 \frac{\alpha}{2} + \cos^2 \frac{\alpha}{2} = 1 $ 与 $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \beta = 1 $ 成立吗？为什么？
(2) 公式 $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $ 与 $ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $ 对任意角 $ \alpha $ 都成立吗？

答案： 1. 对于$\sin^{2}\frac{\alpha}{2}+\cos^{2}\frac{\alpha}{2}=1$与$\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\beta = 1$：
解：
根据同角三角函数的基本关系$\sin^{2}x+\cos^{2}x = 1$（其中$x$为同一个角）。
对于$\sin^{2}\frac{\alpha}{2}+\cos^{2}\frac{\alpha}{2}$，这里$x=\frac{\alpha}{2}$，是同一个角，所以$\sin^{2}\frac{\alpha}{2}+\cos^{2}\frac{\alpha}{2}=1$成立。
对于$\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\beta$，$\alpha$与$\beta$是两个不同的角，只有当$\alpha=\beta + 2k\pi$或$\alpha=-\beta+(2k + 1)\pi,k\in Z$时，$\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\beta = 1$才成立，一般情况下不成立。
2. 对于$\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha = 1$与$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$：
解：
对于$\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha = 1$：
根据三角函数的定义，设角$\alpha$终边上一点$P(x,y)$，$r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\gt0$，$\sin\alpha=\frac{y}{r}$，$\cos\alpha=\frac{x}{r}$，则$\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=\frac{y^{2}}{r^{2}}+\frac{x^{2}}{r^{2}}=\frac{x^{2}+y^{2}}{r^{2}} = 1$，所以$\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha = 1$对任意角$\alpha$都成立。
对于$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$：
因为$\tan\alpha$的定义域是$\{\alpha|\alpha\neq k\pi+\frac{\pi}{2},k\in Z\}$，当$\cos\alpha = 0$（即$\alpha=k\pi+\frac{\pi}{2},k\in Z$）时，$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$无意义，所以$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$不是对任意角$\alpha$都成立，它在$\alpha\neq k\pi+\frac{\pi}{2},k\in Z$时成立。
综上：
(1)$\sin^{2}\frac{\alpha}{2}+\cos^{2}\frac{\alpha}{2}=1$成立，因为是同一个角的正弦平方与余弦平方和；$\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\beta = 1$一般不成立，因为$\alpha$与$\beta$是不同角。
(2)$\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha = 1$对任意角$\alpha$成立；$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$在$\alpha\neq k\pi+\frac{\pi}{2},k\in Z$时成立。