《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

  【概念辨析】
1. 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”).
(1) 银行利率、细胞分裂等增长率问题可以用指数函数模型来表述. (√)
(2) 在函数建模中，散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型. (√)
(3) 在函数模型中，定义域只需使函数有意义. (×)
(4) 用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了.(×)

答案： 1.
(1)√
(2)√
(3)×
(4)×  

2. 物体在空气中冷却，若物体的初始温度为 $ \theta_1 ° C $，空气温度为 $ \theta_0 ° C $，那么 $ t $ min 后物体的温度 $ \theta $(单位：$ ° C $)满足 $ \theta = \theta_0 + (\theta_1 - \theta_0)e^{-kt} $. 若常数 $ k = 0.05 $，空气温度为 $ 30 ° C $，某物体的温度从 $ 90 ° C $ 下降到 $ 50 ° C $，大约需要的时间为(参考数据：$ \ln 3 \approx 1.1 $)(D)
A.16 min
B.18 min
C.20 min
D.22 min

答案： 2.D 

3. 思考并回答下列问题：
(1) 解决函数实际应用问题的一般步骤是怎样的？
(2) 用函数模型解决应用问题的注意事项有哪些？

答案： 1. （1）
解决函数实际应用问题的一般步骤：
第一步：审题。理解题意，分析题中已知什么，求什么，明确各量之间的关系，找出实际问题的数学本质。
第二步：建模。根据实际问题的特点，选择合适的函数模型（如一次函数$y = kx + b(k\neq0)$、二次函数$y=ax^{2}+bx + c(a\neq0)$、指数函数$y = a\cdot b^{x}+c(b\gt0,b\neq1)$、对数函数$y = a\log_{b}x + c(b\gt0,b\neq1)$等），将实际问题转化为数学问题，即建立函数关系式。
第三步：求模。利用数学知识（如求函数的定义域、值域、最值等方法）对建立的函数模型进行求解。
第四步：还原。将数学问题的解还原到实际问题中，检验解是否符合实际意义。
2. （2）
用函数模型解决应用问题的注意事项：
注意函数的定义域：函数的定义域要根据实际问题的背景来确定，不能只从函数表达式本身考虑。例如，在涉及人数、物品个数等实际问题中，变量通常取正整数；在涉及长度、面积、体积等问题中，变量一般取非负实数等。
注意模型的选择：要根据数据的变化特点选择合适的函数模型。如果数据增长速度越来越快，可能适合指数函数模型$y = a\cdot b^{x}+c(b\gt1)$；如果数据增长速度越来越慢，可能适合对数函数模型$y = a\log_{b}x + c(b\gt1)$；如果数据的变化呈现先快后慢再快等二次变化趋势，可能适合二次函数模型$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$等。
注意实际意义的检验：数学模型的解要符合实际问题的情境。比如，在利润问题中，求出的销售量不能为负数；在行程问题中，求出的时间不能为负数等。