《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

1. 不等式 $ a^2 + 1 \geq 2a $ 中等号成立的条件是(B)

A.$ a = \pm 1 $
B.$ a = 1 $
C.$ a = -1 $
D.$ a = 0 $

答案： 1.B

2. 下列命题中正确的是(A)

A.若 $ a ＞ 0 $，$ b ＞ 0 $，且 $ a + b = 16 $，则 $ ab \leq 64 $
B.若 $ a \neq 0 $，则 $ a + \frac{4}{a} \geq 2\sqrt{a \cdot \frac{4}{a}} = 4 $
C.若 $ a $，$ b \in \mathbf{R} $，则 $ ab \geq \frac{(a + b)^2}{2} $
D.对任意 $ a $，$ b \in \mathbf{R} $，$ a^2 + b^2 \geq 2ab $，$ a + b \geq 2\sqrt{ab} $ 均成立

答案： 2.A

3. 若不等式 $ (x - 2y) + \frac{1}{x - 2y} \geq 2 $ 成立，则下列说法正确的是(B)

A.$ x \geq 2y $，当且仅当 $ x - 2y = 1 $ 时取等号
B.$ x ＞ 2y $，当且仅当 $ x - 2y = 1 $ 时取等号
C.$ x \leq 2y $，当且仅当 $ x - 2y = 1 $ 时取等号
D.$ x ＜ 2y $，当且仅当 $ x - 2y = 1 $ 时取等号

答案： 3.B

探究活动
例1 (1) 设 $ A = \frac{n}{m} + \frac{m}{n} $($ m $，$ n $ 为互不相等的正实数)，$ B = -x^2 + 4x - 2 $，则 $ A $ 与 $ B $ 的大小关系是(A)
A.$ A ＞ B $
B.$ A \geq B $
C.$ A ＜ B $
D.$ A \leq B $

答案： 例1
(1)A
(

(2) 已知 $ a ＞ b ＞ c $，则 $\sqrt{(a - b)(b - c)}$ 与 $\frac{a - c}{2}$ 的大小关系是√(a - b)(b - c) ≤ (a - c)/2。

答案：
(2)√(a - b)(b - c) ≤ (a - c)/2

1. 若 $ 0 ＜ a ＜ b $，则下列不等式一定成立的是(C)

A.$ a ＞ \frac{a + b}{2} ＞ \sqrt{ab} ＞ b $
B.$ b ＞ \sqrt{ab} ＞ \frac{a + b}{2} ＞ a $
C.$ b ＞ \frac{a + b}{2} ＞ \sqrt{ab} ＞ a $
D.$ b ＞ a ＞ \frac{a + b}{2} ＞ \sqrt{ab} $

答案： 1.C

2. 已知 $ m = a + \frac{1}{a} $($ a ＞ 0 $)，$ n = (1 - x)(1 + x) $($ -1 ＜ x ＜ 1 $)，则 $ m $，$ n $ 之间的大小关系是(A)

A.$ m ＞ n $
B.$ m \geq n $
C.$ m ＜ n $
D.$ m \leq n $

答案： 2.A

探究活动
例2 (1) 已知 $ x ＞ 0 $，则 $ x + \frac{4}{x} $ 的最小值为4。

答案： 例2
(1)4
 

(2) 已知 $ 0 ＜ x ＜ \frac{1}{2} $，则 $ 2x(1 - 2x) $ 的最大值为1/4。

答案：
(2)1/4