《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

知识点一 函数的概念
（1）定义：一般地，设$A$，$B$是____，如果对于集合$A$中的____，按照某种确定的对应关系$f$，在集合$B$中都有____和它对应，那么就称____为从集合$A$到集合$B$的一个函数。
(2)记法：，$x\in A$。
(3)定义域：$x$叫做自变量，$x$的叫做函数的定义域。
(4)值域：与$x$的值相对应的$y$值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

答案： 知识点一 函数的概念
(1)非空的实数集 任意一个数$x$ 唯一确定的数$y$ $f:A\to B$
(2)$y = f(x)$
(3)取值范围$A$
(4)$\{f(x)\mid x\in A\}$

知识点二 常见函数的定义域和值域
(1)一次函数$y = ax + b(a\neq0)$的定义域是$\mathbf{R}$，值域也是$\mathbf{R}$。对应关系$f$把$\mathbf{R}$中的任意一个数$x$，对应到$\mathbf{R}$中唯一确定的数$ax + b$$(a\neq0)$。
(2)二次函数$y = ax^2 + bx + c(a\neq0)$的定义域是$\mathbf{R}$，值域是$B$。当$a＞0$时，$B=$$\left\{y\mid y\geq\frac{4ac - b^2}{4a}\right\}$；当$a＜0$时，$B=\left\{y\mid y\leqslant\frac{4ac - b^2}{4a}\right\}$。对应关系$f$把$\mathbf{R}$中的任意一个数$x$，对应到$B$中唯一确定的数$ax^{2}+bx + c$$(a\neq0)$。

答案： 知识点二 常见函数的定义域和值域
(1)$ax + b$
(2)$\left\{y\mid y\geq\frac{4ac - b^2}{4a}\right\}$ $ax^{2}+bx + c$
 

【概念辨析】
1. 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)。
(1)根据函数的定义，定义域中的任意一个数可以对应着值域中不同的数。(×)
(2)根据函数的定义，定义域中可以有多个数对应着值域中同一个数。(√)
(3)根据函数的定义，定义域中可以存在一些数在值域中没有对应的数。(×)
(4)函数的定义域和值域一定是无限集合。(×)

答案： 【概念辨析】
1.
(1)$×$
(2)$\surd$
(3)$×$
(4)$×$  

2. 函数$y = x + 1$，$x\in\{1,2,3,4,5\}$的值域是$\{2,3,4,5,6\}$。

答案： 2.{2,3,4,5,6} 

3. 请思考并回答下列问题：
(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系吗？
(2)对于函数$f:A\to B$，值域一定是集合$B$吗？
(3)你是怎样理解和认识函数符号“$y = f(x)$”的？

答案： 1. （1）
不是任何两个集合之间都可以建立函数关系。
设$A$，$B$是两个集合，根据函数的定义：设$A$，$B$是非空实数集，如果对于集合$A$中的任意一个数$x$，按照某种确定的对应关系$f$，在集合$B$中都有唯一确定的数$y$和它对应，就称$f:A\to B$是集合$A$到集合$B$的一个函数。
例如$A = \{1,2\}$，$B=\{a,b,c\}$，若要建立函数关系，要求$A$中的每一个元素在$B$中有唯一的元素与之对应，当$A$中的元素个数与$B$中元素个数不满足一定条件（$A$中元素个数小于等于$B$中元素个数等情况，且要满足对应规则）时，可能无法建立函数关系。
2. （2）
对于函数$f:A\to B$，值域不一定是集合$B$。
根据函数的值域定义：函数$y = f(x)$，$x\in A$，其值域$\{y|y = f(x),x\in A\}$，它是集合$B$的子集，即$\{y|y = f(x),x\in A\}\subseteq B$。
例如$f(x)=x^{2}$，$x\in[-1,1]$，$A = [-1,1]$，$B=\mathbb{R}$（实数集），此时$f(x)$的值域是$[0,1]$，$[0,1]\subsetneqq\mathbb{R}$。
3. （3）
对于函数符号$y = f(x)$：
- “$x$”是自变量，它是函数定义域$A$中的任意一个元素，$x$的取值范围就是函数的定义域。
- “$y$”是因变量，$y$的取值范围是函数的值域，$y$随着$x$的变化而变化，对于定义域$A$中的每一个$x$，在值域（$B$的子集）中有唯一的$y$与之对应。
- “$f$”表示对应关系，它是函数的核心，它规定了从定义域$A$中的$x$到值域（$B$的子集）中$y$的对应规则。例如$f(x)=2x + 1$，“$f$”表示的对应规则就是“给$x$乘$2$然后加$1$”。
- 不同的函数，“$f$”所代表的对应关系不同，比如$y = x^{2}$与$y=\sin x$，它们的对应关系$f$（一个是平方运算，一个是正弦运算）是不一样的。
综上，（1）不是；（2）不一定；（3）如上述对$y = f(x)$的理解。