《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

如图, 某中学准备在校园里利用院墙的一段, 用篱笆围成一个矩形花园 $ ABCD $. 已知院墙 $ MN $ 的长为 25 m, 篱笆长为 50 m(篱笆全部用完), 设 $ AB $ 的长为 $ x $ m.

(1) 当 $ AB $ 的长为多少时, 矩形花园的面积为 $ 300 \, m^2 $?
(2) 若围成的矩形花园 $ ABCD $ 的面积为 $ S \, m^2 $, 当 $ x $ 为何值时, $ S $ 有最大值? 最大值是多少?

答案：
(1)AB的长为15m时，矩形花园的面积为$300m^2$.
(2)当$x = 12.5$时，S取得最大值，最大值为312.5.

探究活动
例 3 (1) 已知函数 $ f(x) = \sqrt{mx^2 - 2x + 1} $ 的值域为 $[0, +\infty)$, 求实数 $ m $ 的取值范围；

答案： 例3
(1)实数m的取值范围为$[0,1]$.
 

(2) 已知函数 $ f(x) = \sqrt{mx^2 - 2x + 1} $ 的最小值为 0, 求实数 $ m $ 的取值范围.

答案：
(2)实数m的取值范围为$(-\infty,1]$.

若函数 $ y = 2x^2 - 8x + 9 $ 的定义域为 $[1, a]$, 值域是 $[1, 3]$, 则 $ a $ 的取值范围为(C)

A.$[1, 2]$
B.$ (1, 2] $
C.$[2, 3]$
D.$[2, 3) $

答案： C