《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

知识点一 函数的单调性

答案： $\forall x_{1},x_{2}\in I$ 递增 递减 增函数 减函数

知识点二 函数的单调性与单调区间
如果函数 $ y = f(x) $ 在区间$I$上单调递增或单调递减，那么就说函数 $ y = f(x) $ 在这一区间具有(严格的)单调性，区间 $ I $ 叫做 $ y = f(x) $ 的单调区间.
 

答案： 知识点二 区间$I$ 单调区间 

【概念辨析】
1. 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”).
(1) 函数在其定义域上都具有单调性.(×)
(2) 若函数 $ y = f(x) $ 在定义域上有 $ f(1) ＜ f(2) $，则该函数是增函数.(×)
(3) 若函数 $ y = f(x) $ 在 $[0, 2]$ 上单调递增，则 $ f(1) ＜ f(2) $.(√)

答案：  [概念辨析] 1.
(1)×
(2)×
(3)√  

2. (多选) 函数 $ y = f(x) $ 的图象如图所示，则下列区间中，是 $ y = f(x) $ 的单调递减区间的有(BD)

A.$[-4, 1]$
B.$[-4, -3]$
C.$[-3, 1]$
D.$[1, 4]$

答案： 2.BD  

3. 请思考并回答下列问题：
(1) 你能举出只有单调递增区间，但在定义域上不是增函数的例子吗？
(2) 分段函数有可能在其定义域上是增函数或减函数吗？请举例说明.
(3) 已知函数 $ y = f(x) $ 的定义域为 $ \mathbf{R} $，若对 $ \forall h ＞ 0 $，$ f(x) ＜ f(x + h) $ 恒成立，能说明函数 $ f(x) $ 是增函数吗？
(4) 你还能给出增函数的其他等价形式吗？

答案： 1. （1）
例如$y =-\frac{1}{x}$，其定义域为$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$。
对$y =-\frac{1}{x}$求导，根据求导公式$(\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\prime v - uv^\prime}{v^{2}}$（这里$u=-1$，$v = x$），$y^\prime=\frac{1}{x^{2}}\gt0$（$x\neq0$）。
所以$y =-\frac{1}{x}$在$(-\infty,0)$和$(0,+\infty)$上分别单调递增，但在整个定义域$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$上不是增函数（例如$x_1=-1$，$x_2 = 1$，$f(-1)=1$，$f(1)=-1$，$f(-1)\gt f(1)$）。
2. （2）
分段函数有可能在其定义域上是增函数或减函数。
例如$f(x)=\begin{cases}x,x\geq0\\2x,x\lt0\end{cases}$。
当$x_1\lt x_2\lt0$时，$f(x_1)-f(x_2)=2x_1 - 2x_2=2(x_1 - x_2)\lt0$，即$f(x_1)\lt f(x_2)$；当$0\leq x_1\lt x_2$时，$f(x_1)-f(x_2)=x_1 - x_2\lt0$，即$f(x_1)\lt f(x_2)$；当$x_1\lt0\leq x_2$时，$f(x_1)=2x_1\lt0$，$f(x_2)=x_2\geq0$，$f(x_1)\lt f(x_2)$。所以$f(x)$在$R$上是增函数。
3. （3）
不能说明函数$f(x)$是增函数。
例如$f(x)=\begin{cases}x,x\in[0,+\infty)\\x - 1,x\in(-\infty,0)\end{cases}$，对于$\forall h\gt0$，当$x\geq0$时，$f(x)=x$，$f(x + h)=x + h$，$f(x)\lt f(x + h)$；当$x\lt0$时，$x+h$可能大于$0$，$f(x)=x - 1$，$f(x + h)=x + h$（$h\gt - x$），$f(x)=x - 1\lt x+h=f(x + h)$，但$f(x)$不是增函数（例如$x_1=-0.5$，$x_2 = 0.5$，$f(-0.5)=-1.5$，$f(0.5)=0.5$，不满足增函数定义中对于任意$x_1\lt x_2$都有$f(x_1)\lt f(x_2)$，这里$x_1=-0.5\lt x_2 = 0.5$，但$f(-0.5)\lt f(0.5)$是因为分段函数的跳跃，而不是函数的单调递增性质）。
4. （4）
增函数的等价形式：
设函数$y = f(x)$的定义域为$I$，如果对于定义域$I$内的某个区间$D$上的任意两个自变量的值$x_1$，$x_2$，当$x_1\lt x_2$时，都有$f(x_1)-f(x_2)\lt0$，那么就说函数$y = f(x)$在区间$D$上是增函数；
设函数$y = f(x)$的定义域为$I$，如果对于定义域$I$内的某个区间$D$上的任意两个自变量的值$x_1$，$x_2$，$\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1 - x_2}\gt0(x_1\neq x_2)$，那么就说函数$y = f(x)$在区间$D$上是增函数。
综上，（1）$y =-\frac{1}{x}$（答案不唯一）；（2）能，如$f(x)=\begin{cases}x,x\geq0\\2x,x\lt0\end{cases}$（答案不唯一）；（3）不能；（4）$f(x_1)-f(x_2)\lt0(x_1\lt x_2)$，$\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1 - x_2}\gt0(x_1\neq x_2)$。