《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

求函数 $ y=\log_{\frac{1}{2}}(-x^{2}+2x + 1) $ 的值域和单调区间。

答案： 函数$y=\log_{\frac{1}{2}}(-x^{2}+2x+1)$的值域为$[-1,+\infty)$。单调递增区间为$(1,1+\sqrt{2})$，单调递减区间为$(1-\sqrt{2},1)$。

探究活动
例3 已知函数 $ f(x)=\log_{a}(x + 1) $，$ g(x)=\log_{a}(1 - x) $，其中 $ a＞0 $，$ a\neq1 $。
(1) 求函数 $ F(x)=f(x)-g(x) $ 的定义域；
(2) 判断 $ F(x)=f(x)-g(x) $ 的奇偶性，并说明理由；
(3) 当 $ a＞1 $ 时，求使 $ F(x)=f(x)-g(x)＞0 $ 成立的 $ x $ 的集合。

答案： 例3
(1)$F(x)$的定义域为$\{x\mid -1＜x＜1\}$。
(2)$F(x)$是奇函数.理由略。
(3)$x$的集合为$\{x\mid 0＜x＜1\}$。

1. (2022·全国乙卷) 若 $ f(x)=\ln\left|a+\frac{1}{1 - x}\right|+b $ 是奇函数，则 $ a= $$-\frac{1}{2}$，$ b= $$\ln2$。

答案： 1.$-\frac{1}{2}$ $\ln2$ 2.奇函数。

2. 判断函数 $ f(x)=\lg(\sqrt{1 + x^{2}}-x) $ 的奇偶性。

答案： 奇函数