《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

1. (多选)下列函数是幂函数的是 (AC)

A.$ y = x^{2} $
B.$ y = 2^{x} $
C.$ y = \dfrac{1}{x^{2}} $
D.$ y = -x^{2} $

答案： 1.AC

2. 已知 $ f(x) = (m + 1)x^{m^{2} + 2} $ 是幂函数，则 $ m $ 的值为 (D)

A.2
B.1
C.3
D.0

答案： 2.D

3. 已知幂函数 $ f(x) $ 的图象经过点 $ (2, \sqrt{2}) $，则 $ f(9) = $ (D)

A.$ \sqrt{3} $
B.1
C.2
D.3

答案： 3.D

探究活动
例 1 已知点 $ (\sqrt{2}, 2) $ 与点 $ \left( -2, -\dfrac{1}{2} \right) $ 分别在幂函数 $ f(x) $，$ g(x) $ 的图象上，当 $ x $ 满足什么条件时，有：
(1) $ f(x) ＞ g(x) $？
(2) $ f(x) = g(x) $？
(3) $ f(x) ＜ g(x) $？

答案： 例1
(1)当$x \in (-\infty, 0) \cup (1, +\infty)$时，$f(x) ＞ g(x)$.
(2)当$x = 1$时，$f(x) = g(x)$.
(3)当$x \in (0, 1)$时，$f(x) ＜ g(x)$.

1. 如图，幂函数 $ y = x^{2} $，$ y = x^{-1} $，$ y = x^{\frac{1}{3}} $，$ y = x^{-\frac{1}{2}} $ 在第一象限内的图象依次是曲线(D)


A.$ C_{1} $，$ C_{2} $，$ C_{3} $，$ C_{4} $
B.$ C_{1} $，$ C_{4} $，$ C_{3} $，$ C_{2} $
C.$ C_{3} $，$ C_{2} $，$ C_{1} $，$ C_{4} $
D.$ C_{1} $，$ C_{4} $，$ C_{2} $，$ C_{3} $

答案： 1.D

2. 函数 $ f(x) = |x|^{\frac{1}{2}} $ 的图象大致为 (C)


 

答案： 2.C

探究活动
例 2 (1)幂函数 $ f(x) = (m^{2} + 5m - 5)x^{m^{2} - 3m} $($ m \in \mathbf{Z} $)是偶函数，且在 $ (0, +\infty) $ 上单调递减，则 $ m $ 的值为 (B)
A.-6
B.1
C.6
D.1 或 -6

答案： 例2
(1)B
 
 

 (2) 若 $ a = \left( \dfrac{1}{2} \right)^{\frac{1}{2}} $，$ b = \left( \dfrac{1}{5} \right)^{\frac{1}{2}} $，$ c = (-2)^{3} $，则 $ a $，$ b $，$ c $ 的大小关系为 (D)
A.$ a ＜ b ＜ c $
B.$ c ＜ a ＜ b $
C.$ b ＜ a ＜ c $
D.$ c ＜ b ＜ a $

答案：  
(2)D

 (3) 已知幂函数 $ f(x) = x^{\frac{1}{2}} $。若 $ f(10 - 2a) ＜ f(a + 1) $，则实数 $ a $ 的取值范围是 $(3, 5]$。
一题多思
思考 1. 本例(1)中，若把条件改为“幂函数 $ f(x) = x^{m^{2} - m - 3} $($ m \in \mathbf{N}^{*} $，且 $ m \geqslant 2 $ 为奇函数，且在 $ (0, +\infty) $ 上单调递减”，你能求出 $ m $ 的值吗？
思考 2. 在思考 1 的条件下，你能比较 $ f(-2025) $ 与 $ f(-2024) $ 的大小吗？

答案：
(3)$(3, 5]$ [一题多思] 思考1.提示：因为幂函数$f(x) = x^{m^2 - m - 3} (m \in \mathbf{N}^*, 且 m \geqslant 2)$为奇函数，且在$(0, +\infty)$上单调递减， 所以$m^2 - m - 3 ＜ 0$，解得$\frac{1 - \sqrt{13}}{2} ＜ m ＜ \frac{1 + \sqrt{13}}{2}$. 又$m \in \mathbf{N}^*$，且$m \geqslant 2$，所以$m = 2$. 当$m = 2$时，$f(x) = x^{-1}$，为奇函数，故$m = 2$. 思考2.提示：因为$f(x)$为奇函数，且在$(0, +\infty)$上单调递减，所以$f(x)$在$(-\infty, 0)$上也单调递减，又因为$-2024 ＞ -2025$，所以$f(-2025) ＞ f(-2024)$.