《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

一般地，函数 $ y = $$\log_{a}x$($ a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1 $)叫做对数函数，其中 $ x $ 是自变量，定义域是(0,+\infty)。

答案： 知识点 $\log_{a}x\ (0,+\infty)$

1. 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)。
(1)对数函数的定义域为 $ \mathbf{R} $。(×)
(2)函数 $ y = \log_{2}(2x) $ 是对数函数。(×)
(3)$ y = \log_{5}x^{2} $ 的定义域为 $ \mathbf{R} $。(×)

答案： 1.
(1)×
(2)×
(3)×

2. 若函数 $ f(x) = (a - 1)\log_{(a + 1)}x $ 是对数函数，则实数 $ a = $2。

答案： 2.2

3. 请思考并回答下列问题：
（1）函数 $ y = \log_{2}(x + 1) $ 是对数函数吗？
（2）为什么对数函数的定义域是 $ (0, +\infty) $？

答案： （1）函数 $y = \log_{2}(x + 1)$ 不是对数函数。
对数函数的形式为$y=\log_{a}x$（$a\gt0$且$a\neq1$），而 $y = \log_{2}(x + 1)$ 的自变量 $x + 1\neq1$（即$x\neq0$的形式不符合对数函数标准形式，它是复合函数。
（2）对于对数函数 $y = \log_{a}x$（$a\gt0,a\neq1$），因为对数函数是指数函数 $a^{y}=x$（$a\gt0,a\neq1$）的反函数，在指数函数 $a^{y}=x$ 中，对于任意实数 $y$，$x = a^{y}\gt0$，即对数函数 $y = \log_{a}x$ 的真数 $x\gt0$，所以对数函数的定义域是 $(0, +\infty)$。

1. (多选)下列函数中为对数函数的是(CD)

A.$ y = \log_{\frac{1}{2}}(-x) $
B.$ y = \log_{4}x^{2} $
C.$ y = \ln x $
D.$ y = \log_{(a^{2} + a + 2)}x $($ a $ 是常数)

答案： 1.CD

2. 已知对数函数 $ f(x) $ 的图象过点 $ P(8, 3) $，则 $ f\left(\dfrac{1}{32}\right) = $-5。

答案： 2.-5

探究活动
例 1 求下列函数的定义域：
（1）$ f(x) = \log_{5}(x - 3) + \log_{5}(x + 3) $；
（2）$ f(x) = \lg(x - 2) + \dfrac{1}{x - 3} $；
（3）$ f(x) = \log_{(x + 1)}(16 - 4x) $。
[一题多思]
思考 1. 求对数型函数的定义域时要注意哪些问题？
思考 2. 本例（1）中，若将函数变为“$ f(x) = \log_{5}[(x - 3)(x + 3)] $”，其定义域会变化吗？

答案： 例1
(1)$(3,+\infty)$.
(2)$(2,3)\cup(3,+\infty)$.
(3)$(-1,0)\cup(0,4)$. [一题多思] 思考1.提示：真数大于0,底数大于0且不为1. 思考2.提示：会变化,定义域为$(-\infty,-3)\cup(3,+\infty)$.