《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

1. 已知 $ \log_32 = a $，$ 3^b = 5 $，则 $ \log_{15}\sqrt{30} $的值用 $ a $，$ b $表示为(B)

A.$ \frac{1 + a + b}{1 + b} $
B.$ \frac{1 + a + b}{2(1 + b)} $
C.$ \frac{a + b}{1 + b} $
D.$ \frac{a + b}{2(1 + b)} $

答案： 1.B

2. 计算：
（1）$ \log_23 × \log_35 × \log_516 $；
（2）$ (\log_32 + \log_92)(\log_43 + \log_83) $；
（3）$ (\log_2125 + \log_425 + \log_85) × (\log_52 + \log_{25}4 + \log_{125}8) $.

答案： 2.
(1)4.
(2)$\frac{5}{4}$.
(3)13.

探究活动
例3 射线测厚技术运用的计算公式为 $ I = I_0\mathrm{e}^{-\rho\mu t} $，其中 $ I_0 $，$ I $分别为射线穿过被测物前后的强度，$ \mathrm{e} $是自然对数的底数，$ t $为被测物厚度，$ \rho $为被测物的密度，$ \mu $是被测物对射线的吸收系数. 工业上通常用镅 $ 241(^{241}\mathrm{Am}) $低能 $ \gamma $射线测量钢板的厚度. 若这种射线对钢板的半价层厚度为 $ 0.8 $，钢的密度为 $ 7.6 $，则钢板对这种射线的吸收系数约为(C)
(注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，$ \ln 2 \approx 0.6931 $，结果精确到 $ 0.001 $)

A.$ 0.110 $
B.$ 0.112 $
C.$ 0.114 $
D.$ 0.116 $

答案： 例3 C

在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述. 两颗星的星等与亮度满足 $ m_2 - m_1 = \frac{5}{2}\lg \frac{E_1}{E_2} $，其中星等为 $ m_k $的星的亮度为 $ E_k $($ k = 1 $，$ 2 $). 已知太阳的星等是 $ -26.7 $，天狼星的星等是 $ -1.45 $，则太阳与天狼星的亮度的比值为(A)

A.$ 10^{10.1} $
B.$ 10.1 $
C.$ \lg 10.1 $
D.$ 10^{-10.1} $

答案： A