《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

2. 函数 $ y = \cos x $，$ x \in (0, 2\pi) $ 的图象与直线 $ y = \dfrac{1}{2} $ 的交点个数为2.

答案： 2.2

3. 请思考并回答下列问题：
(1)作正弦函数、余弦函数的图象时，为什么函数自变量的取值要用弧度制？
(2)利用平移法作余弦函数图象的依据是什么？为什么不能利用 $ \sin \left( \dfrac{\pi}{2} - x \right) = \cos x $ 来确定平移的方向和距离？

答案：
(1)因为弧度制下，角的大小用实数表示，使正弦函数、余弦函数的自变量与函数值均为实数，能在同一平面直角坐标系中建立对应关系，便于作函数图象。
(2)利用平移法作余弦函数图象的依据是诱导公式cosx=sin(x+π/2)及函数y=sin(x+φ)的图象由y=sinx图象平移得到的规律；因为sin(π/2 - x)=cosx中x的系数为-1，对应的函数图象变换包含关于y轴对称的变换，并非单纯的平移变换，所以不能利用该式确定平移的方向和距离。

1. 对于正弦函数 $ y = \sin x $ 的图象，下列说法错误的是(D)

A.向左、右无限伸展
B.与 $ y = \cos x $ 的图象形状相同，只是位置不同
C.与 $ x $ 轴有无数个交点
D.关于 $ y $ 轴对称

答案： 1.D

2. 在同一平面直角坐标系内，函数 $ y = \sin x $，$ x \in [0, 2\pi] $ 与 $ y = \cos x $，$ x \in [2\pi, 4\pi] $ 的图象(D)

A.重合
B.形状相同，位置不同
C.关于 $ y $ 轴对称
D.形状不同，位置不同

答案： 2.D

3. 函数 $ y = \sin(-x) $，$ x \in [0, 2\pi] $ 的简图是(B)


 

答案： 3.B

探究活动
例 1 作出下列函数的简图：
（1）$ y = 2 - \sin x $，$ x \in [0, 2\pi] $；
（2）$ y = \sin \left( x + \dfrac{\pi}{2} \right) $，$ x \in \left[ -\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6} \right] $.

答案：
例1 解：
(1)由题知 $y = 2 - \sin x$,$x \in [0, 2\pi]$,列表如下：
$x$ 0 $\frac{\pi}{2}$ $\pi$ $\frac{3\pi}{2}$ $2\pi$
$y$ 2 1 2 3 2
描点并用光滑的曲线连接起来,画图如下：

(2)由题知 $y = \sin \left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos x$,$x \in \left[-\frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}\right]$,列表如下：
$x$ $-\frac{\pi}{6}$ 0 $\frac{\pi}{2}$ $\pi$ $\frac{3\pi}{2}$ $\frac{11\pi}{6}$
$y$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 1 0 -1 0 $\frac{\sqrt{3}}{2}$
描点并用光滑的曲线连接起来,画图如下：