《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

【知识清单】

答案： 1. 对于$y = a^{x}(a\gt1)$：
根据指数函数的性质，设$x_1\lt x_2$，$x_1,x_2\in(0,+\infty)$，则$y_1 = a^{x_1}$，$y_2 = a^{x_2}$，$\frac{y_2}{y_1}=a^{x_2 - x_1}$，因为$a\gt1$，$x_2 - x_1\gt0$，所以$a^{x_2 - x_1}\gt1$，即$y_2\gt y_1$，所以$y = a^{x}(a\gt1)$在$(0,+\infty)$上单调递增。
2. 对于$y=\log_{a}x(a\gt1)$：
设$x_1\lt x_2$，$x_1,x_2\in(0,+\infty)$，则$y_1=\log_{a}x_1$，$y_2 = \log_{a}x_2$，$y_2 - y_1=\log_{a}\frac{x_2}{x_1}$，因为$a\gt1$，$\frac{x_2}{x_1}\gt1$，所以$\log_{a}\frac{x_2}{x_1}\gt0$，即$y_2\gt y_1$，所以$y = \log_{a}x(a\gt1)$在$(0,+\infty)$上单调递增。
3. 对于$y = kx(k\gt0)$：
设$x_1\lt x_2$，$x_1,x_2\in(0,+\infty)$，则$y_1=kx_1$，$y_2 = kx_2$，$y_2 - y_1=k(x_2 - x_1)$，因为$k\gt0$，$x_2 - x_1\gt0$，所以$y_2 - y_1\gt0$，即$y_2\gt y_1$，所以$y = kx(k\gt0)$在$(0,+\infty)$上单调递增。
4. 比较增长速度：
指数函数$y = a^{x}(a\gt1)$的增长速度越来越快，一次函数$y = kx(k\gt0)$增长速度不变，对数函数$y=\log_{a}x(a\gt1)$增长速度越来越慢。所以$y = a^{x}(a\gt1)$的增长速度大于$y = kx(k\gt0)$的增长速度，$y = kx(k\gt0)$的增长速度大于$y=\log_{a}x(a\gt1)$的增长速度。
故答案依次为：单调递增；单调递增；单调递增；大于；大于。

 【概念辨析】
1. 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”).
(1)函数$y = \log_{\frac{1}{2}} x$减小的速度越来越慢. (√)
(2)对于指数函数$y = a^x$($a ＞ 1$)，底数$a$越大，其增长速度越快. (√)
(3)不存在一个实数$m$，使得当$x ＞ m$时，$1.1^x ＞ x^{100}$. (×)
(4)当$a ＞ 1$，$k ＞ 0$时，在区间$(0, +\infty)$内，对任意的$x$，总有$\log_a x ＜ kx ＜ a^x$成立. (×)
 

答案： 1.
(1)√
(2)√
(3)×
(4)×  

2. 若$x \in (1, 2)$，则下列结论正确的是(A)
A.$2x ＞ x^{\frac{1}{2}} ＞ \lg x$
B.$2x ＞ \lg x ＞ x^{\frac{1}{2}}$
C.$x^{\frac{1}{2}} ＞ 2x ＞ \lg x$
D.$x^{\frac{1}{2}} ＞ \lg x ＞ 2x$

答案： 2.A  

3. 请思考并回答下列问题：
(1)一次函数增长速度有什么特点？
(2)是不是函数值越大，函数的增长速度越快？

答案： 1. 对于一次函数$y = kx + b(k\neq0)$：
解：一次函数$y = kx + b(k\neq0)$的增长速度是恒定的，其增长速度由斜率$k$决定，$k$为常数。当$k\gt0$时，函数单调递增，函数值随$x$的增大而均匀增大；当$k\lt0$时，函数单调递减，函数值随$x$的增大而均匀减小。
2. 解：不是函数值越大，函数的增长速度越快。
例如，设$y_1 = 2x+1$，$y_2 = 100x + 1000$。
当$x = 1$时，$y_1=2×1 + 1=3$，$y_2=100×1+1000 = 1100$，此时$y_2\gt y_1$。
但是$y_1$的增长速度（斜率）$k_1 = 2$，$y_2$的增长速度（斜率）$k_2 = 100$。
再设$y_3=-x + 1000$，当$x = 1$时，$y_3=-1 + 1000=999$，$y_3$的函数值较大，但$y_3$的增长速度（斜率）$k_3=-1$，是递减的。
函数的增长速度是由函数的导数（对于一次函数$y = kx + b$，导数$y^\prime=k$）或一次函数中的斜率等因素决定的，而不是由函数值的大小决定。
综上，（1）一次函数增长速度恒定，由斜率决定；（2）不是。