《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

知识点一 对数的有关概念
(1) 一般地，如果 $ a^x = N (a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1) $，那么数 $ x $ 叫做以 $ a $ 为底 $ N $ 的对数，记作 $ x = $$\log_a N$，其中 $ a $ 叫做对数的底数，$ N $ 叫做真数。
(2) 常用对数与自然对数

(3) 对数与指数间的关系
当 $ a ＞ 0 $，$ a \neq 1 $ 时，$ a^x = N \Leftrightarrow x = \log_a N $。

答案：
(1)对数；$\log_a N$；真数

知识点二 对数的性质
(1) 负数和$0$没有对数，即 $ \log_a N $ 中 $ N $ 必须大于 $ 0 $。
(2) $ 1 $ 的对数为 $ 0 $，即$\log_a1 = 0(a＞0$,且$a\neq1)$。
(3) $ \log_a a = 1 (a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1) $。
(4) 对数恒等式：$ a^{\log_a N} = $$N$$ (a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1) $。

答案： 负数和　　$0$　　$ $　　
$\log_a1 = 0(a＞0$,且$a\neq1)$
$N$　　

 【概念辨析】
1. 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)。
(1) $ (-2)^4 = 16 $ 可化为 $ \log_{(-2)} 16 = 4 $。(×)
(2) 对数的真数必须是非负数。(×)
(3) 若 $ \log_6 3 = m $，则 $ 6 = 3^m $。(×)

答案： 1.
(1)×
(2)×
(3)×  

2. $ \ln 1 = $$0$，$ \lg 10 = $$1$。

答案： 2.0；1 

3. 请思考并回答下列问题：
(1) 如何理解对数的概念？
(2) 对数与指数的关系是怎样的？
(3) 指数式 $ a^b = N $ 都可以直接化为对数式吗？

答案： 1. 对于对数的概念：
一般地，如果$a^x = N(a\gt0,a\neq1)$，那么数$x$叫做以$a$为底$N$的对数，记作$x=\log_{a}N$，其中$a$叫做对数的底数，$N$叫做真数。对数是指数运算的逆运算，它是在已知底数$a$和幂$N$的情况下，求指数$x$的一种运算。例如，$2^3 = 8$，那么$\log_{2}8 = 3$，这里就是求$2$的几次方等于$8$。
2. 对数与指数的关系：
指数式$a^b = N(a\gt0,a\neq1)$与对数式$\log_{a}N = b(a\gt0,a\neq1)$是同一关系的两种不同表示形式。它们之间可以相互转化，$a$是底数，$b$在指数式中是指数，在对数式中是对数；$N$在指数式中是幂，在对数式中是真数。例如，指数式$3^2 = 9$，转化为对数式就是$\log_{3}9 = 2$；反之，对数式$\log_{5}25 = 2$，转化为指数式就是$5^2 = 25$。
3. 指数式$a^b = N$化为对数式的条件：
解：指数式$a^b = N$不是都可以直接化为对数式。
当$a\gt0,a\neq1$且$N\gt0$时，指数式$a^b = N$可以化为对数式$\log_{a}N = b$。
因为对数函数$y = \log_{a}x(a\gt0,a\neq1)$的定义域是$(0,+\infty)$，即真数$N$必须大于$0$。例如，$( - 2)^3=-8$，由于底数$-2\lt0$，不能化为对数式；$0^2 = 0$，由于底数$a = 0$不符合对数定义中$a\gt0,a\neq1$的条件，也不能化为对数式；$2^{-1}=\frac{1}{2}$，可以化为$\log_{2}\frac{1}{2}=-1$（满足$a = 2\gt0,a\neq1$且$N=\frac{1}{2}\gt0$）。
综上，（1）对数是指数运算的逆运算，$a^x = N(a\gt0,a\neq1)$时，$x = \log_{a}N$；（2）指数式$a^b = N$与对数式$\log_{a}N = b$（$a\gt0,a\neq1$）可相互转化；（3）当$a\gt0,a\neq1$且$N\gt0$时，指数式$a^b = N$可化为对数式$\log_{a}N = b$，否则不行。