《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

2. 已知 $ \log_{a}\frac{1}{2}＞1 $，则实数 $ a $ 的取值范围为$\left(\frac{1}{2},1\right)$。

答案： 2.$\left(\frac{1}{2},1\right)$

3. 已知 $ a＞0 $ 且 $ a\neq1 $，解关于 $ x $ 的不等式：$ \log_{a}(x - 4)-\log_{a}(2x - 1)＞0 $。

答案： 3.当$a＞1$时，解集为$\varnothing$；当$0＜a＜1$时，解集为$\{x\mid x＞4\}$。

探究活动
例1 (1) 已知函数 $ f(x)=\log_{3}\left(\frac{1}{3}x\right)\cdot\log_{3}(27x) $，$ x\in\left[\frac{1}{9},3\right] $，求函数 $ f(x) $ 的值域。

答案： 例1
(1)$f(x)$的值域为$[-4,0]$。
 

(2) 求函数 $ f(x)=(\log_{\frac{1}{2}}x)^{2}-\frac{1}{2}\log_{\frac{1}{2}}x + 5 $ 在区间 $[2,4]$ 上的最大值和最小值。

答案：
(2)最大值为$10$，最小值为$\frac{13}{2}$。

求下列函数的值域：
(1) $ f(x)=\log_{2}(3^{x}+1) $；
(2) $ f(x)=\log_{2}\frac{x}{4}×\log_{2}\frac{x}{2}(1\leq x\leq4) $。

答案：
(1)$(0,+\infty)$。
(2)$\left[-\frac{1}{4},2\right]$。

探究活动
例2 已知函数 $ y=\log_{\frac{1}{2}}(x^{2}-ax + a) $ 在区间 $ (-\infty,\sqrt{2}) $ 上是增函数，求实数 $ a $ 的取值范围。

答案： 例2 实数$a$的取值范围是$[2\sqrt{2},2(\sqrt{2}+1)]$。