《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

知识点一 全称量词命题的否定

答案： 知识点一
∃x∈M,¬p(x)

知识点二 存在量词命题的否定

答案： 知识点二
∀x∈M,¬p(x)
 
 

2. 命题“$ \exists a \in \mathbf{R} $，使一次函数 $ y = x + a $ 的图象经过原点”的否定为∀a∈R,一次函数 y=x+a 的图象都不经过原点。

答案： 2.∀a∈R,一次函数 y=x+a 的图象都不经过原点  

【概念辨析】
1. 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)。
(1)存在量词命题的否定一定是全称量词命题。(√)
(2)对全称量词命题或存在量词命题进行否定时，只否定其结论即可。(×)
(3)短语“都是”的否定短语是“都不是”。(×)
(4)短语“至少有一个”的否定短语是“至多有两个”。(×)

答案： 【概念辨析】
1.
(1)√
(2)×
(3)×
(4)×

3. 请思考并回答下列问题：
(1)你能总结一下含有一个量词的命题的否定的方法吗？

(2)一般命题的否定与含有一个量词的命题的否定有何区别与联系？
(3)一个命题和它的否定可以同时为真命题吗？

答案： 1. 对于含有一个量词的命题的否定方法：
全称量词命题$\forall x\in M,p(x)$的否定是存在量词命题$\exists x\in M,\neg p(x)$；存在量词命题$\exists x\in M,p(x)$的否定是全称量词命题$\forall x\in M,\neg p(x)$。即改变量词（全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词），否定结论。
2. 一般命题的否定与含有一个量词的命题的否定的区别与联系：
区别：
一般命题的否定是直接对命题的结论进行否定；而含有一个量词的命题的否定不仅要否定结论，还要改变量词（全称量词与存在量词互变）。
联系：
它们的本质都是对原命题的否定，都遵循“非真即假，非假即真”的逻辑关系。
3. 一个命题和它的否定不可以同时为真命题。因为命题与其否定的真假性是相反的，即如果原命题为真，则它的否定为假；如果原命题为假，则它的否定为真。
对于插图$1$中存在量词命题$p:\exists x\in M,p(x)$，命题$p$的否定为$\forall x\in M,\neg p(x)$。

写出下列全称量词命题 $ p $ 的否定 $ \neg p $，并判断 $ p $ 与 $ \neg p $ 的真假。
（1）$ p: \forall x \in \mathbf{R}, x^{2} + 2x + 5 ＞ 0 $；
（2）$ p $：对任意的实数 $ m $，方程 $ x^{2} + mx - 1 = 0 $ 有实数根；
（3）$ p $：菱形的对角线互相垂直；
（4）$ p $：方程 $ x^{2} - 8x - 20 = 0 $ 的每一个根都不是奇数。

答案： 任务1
解：
(1)¬p：∃x∈R,x²+2x+5≤0.
因为x²+2x+5=(x+1)²+4＞0，
所以p为真命题，¬p为假命题.
(2)¬p：至少存在一个实数m，使得方程x²+mx−1=0无实数根.
因为Δ=m²+4＞0，所以p为真命题，¬p为假命题.
(3)¬p：至少存在一个菱形，它的对角线不互相垂直.
因为所有菱形的对角线均互相垂直，
所以p为真命题，¬p为假命题.
(4)¬p：方程x²−8x−20=0至少有一个根是奇数.
因为方程的两个根为−2,10，都不是奇数，
所以p为真命题，¬p为假命题.