《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

1. 下列关于函数$f(x)$，$x \in [a,b]$的命题中，正确的是(A)

A.若$x_0 \in [a,b]$且满足$f(x_0) = 0$，则$x_0$是$f(x)$的一个零点
B.若$x_0$是$f(x)$在$[a,b]$内的零点，则可以用二分法求$x_0$的近似值
C.函数$f(x)$的零点是方程$f(x) = 0$的根，但$f(x) = 0$的根不一定是函数$f(x)$的零点
D.用二分法求方程的根时，得到的都是近似解

答案： 1.A

2. 已知下列四个函数图象，其中能用二分法求出函数零点的是(A)


 

答案： 2.A

3. (多选)下列函数中，能用二分法求函数零点的有(ABD)

A.$f(x) = 5x + 2$
B.$f(x) = \log_5 x$
C.$f(x) = x^2 + 2x + 1$
D.$f(x) = 3^x - 2$

答案： 3.ABD

探究活动
例1 用二分法求方程$2x^3 + 3x - 3 = 0$的一个正实数近似解.（精确度0.1）

答案： 可取为0.75.

证明函数$f(x) = 2^x + 3x - 6$在区间$(1,2)$内有唯一零点，并求这个零点的近似值.（精确度0.1）

答案： 解：由于$f(1)= -1＜0,f(2)=4＞0$，函数$f(x)$是连续的增函数，所以函数在区间$(1,2)$内有唯一零点，不妨设为$x_0$，则$x_0\in(1,2)$.
下面用二分法求解：
|零点所在区间|中点的值|中点函数值（精确到0.001）|
|----|----|----|
|$(1,2)$|1.5|1.328|
|$(1,1.5)$|1.25|0.128|
|$(1,1.25)$|1.125|$-0.444$|
|$(1.125,1.25)$|1.1875|$-0.160$|
因为$f(1.1875)\cdot f(1.25)＜0$，且$|1.1875 - 1.25| = 0.0625＜0.1$，所以函数$f(x)=2^x + 3x - 6$精确度为0.1的零点可取为1.2.