《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

探究活动
例2 (1) 已知 $ x ＜ 2 $，求 $ x + \dfrac{4}{x - 2} $ 的最大值；

答案： $(1)x+\frac{4}{x - 2}$的最大值为-2.
 

(2) 已知 $ x ＞ 0 $，$ y ＞ 0 $，且 $ x + 9y = xy $，若不等式 $ a \leqslant x + y $ 恒成立，求实数 $ a $ 的取值范围。

答案：
(2)实数a的取值范围是$\{a\mid a\leq16\}.$

1. 已知 $ a $，$ b $ 为正数，$ 4a + b = 1 $，则 $ \dfrac{1}{4a} + \dfrac{1}{b} $ 的最小值为(C)

A.$ 1 $
B.$ 2 $
C.$ 4 $
D.$ 8 $

答案： 1.C

2. 设 $ x $，$ y $，$ z $ 均为正实数，满足 $ x - 2y + 3z = 0 $，则 $ \dfrac{y^2}{xz} $ 的最小值为3。

答案： 2.3

探究活动
例3 已知 $ a ＞ 0 $，$ b ＞ 0 $，且 $ a + b = 1 $，求证：$ \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{ab} \geqslant 8 $。

答案： 证明：因为a＞0,b＞0,a + b = 1，
所以$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{ab}=\frac{a + b}{a}+\frac{a + b}{b}+\frac{1}{ab}=4 + 2(\sqrt{\frac{b}{a}}\cdot\sqrt{\frac{a}{b}})=8，$当且仅当$\frac{b}{a}=\frac{a}{b}，$即$a = b=\frac{1}{2}$时，
等号成立.
所以$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{ab}\geq8.$

已知 $ a $，$ b $，$ c $ 是互不相等的正数，且 $ a + b + c = 1 $，求证：$ \left( \dfrac{1}{a} - 1 \right) \left( \dfrac{1}{b} - 1 \right) \left( \dfrac{1}{c} - 1 \right) ＞ 8 $。

答案： 证明：因为a,b,c是正数，且a + b + c = 1，
所以$\frac{1}{a}-1=\frac{b + c}{a}＞0,\frac{1}{b}-1=\frac{a + c}{b}＞0,\frac{1}{c}-1=\frac{a + b}{c}＞0，$所以$(\frac{1}{a}-1)(\frac{1}{b}-1)(\frac{1}{c}-1)=\frac{b + c}{a}\cdot\frac{a + c}{b}\cdot\frac{a + b}{c}$
$\geq\frac{2\sqrt{bc}\cdot2\sqrt{ac}\cdot2\sqrt{ab}}{abc}=8，$当且仅当$a = b = c=\frac{1}{3}$时，
等号成立.
又因为a,b,c是互不相等的正数，
所以$(\frac{1}{a}-1)(\frac{1}{b}-1)(\frac{1}{c}-1)＞8.$