《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

1. 已知 $ \lg 2 = a $，$ \lg 3 = b $，则 $ \lg \frac{12}{5} = $b + 3a - 1.

答案： 1.$b + 3a - 1$

2. 计算下列各式的值：
（1）$ \frac{1}{2}\lg \frac{32}{49} - \frac{4}{3}\lg \sqrt{8} + \lg \sqrt{245} $；
（2）$ \lg 25 + \frac{2}{3}\lg 8 + \lg 5 × \lg 20 + (\lg 2)^2 $.

答案： $(1)$计算$\frac{1}{2}\lg\frac{32}{49}-\frac{4}{3}\lg\sqrt{8}+\lg\sqrt{245}$的值
解：
根据对数运算法则$\log_aM^n = n\log_aM$，$\log_a\frac{M}{N}=\log_aM - \log_aN$，$\log_a(MN)=\log_aM+\log_aN$对原式进行化简：
步骤一：化简各项对数
$\frac{1}{2}\lg\frac{32}{49}=\frac{1}{2}(\lg32 - \lg49)=\frac{1}{2}(\lg2^5 - \lg7^2)=\frac{1}{2}(5\lg2 - 2\lg7)=\frac{5}{2}\lg2-\lg7$；
$\frac{4}{3}\lg\sqrt{8}=\frac{4}{3}\lg8^{\frac{1}{2}}=\frac{4}{3}×\frac{1}{2}\lg8=\frac{2}{3}\lg2^3 = 2\lg2$；
$\lg\sqrt{245}=\lg245^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\lg(49×5)=\frac{1}{2}(\lg7^2+\lg5)=\frac{1}{2}(2\lg7+\lg5)=\lg7+\frac{1}{2}\lg5$。
步骤二：代入化简后的式子进行计算
$\begin{aligned}&\frac{1}{2}\lg\frac{32}{49}-\frac{4}{3}\lg\sqrt{8}+\lg\sqrt{245}\\=&\frac{5}{2}\lg2-\lg7 - 2\lg2+\lg7+\frac{1}{2}\lg5\\=&(\frac{5}{2}\lg2 - 2\lg2)+(-\lg7+\lg7)+\frac{1}{2}\lg5\\=&\frac{1}{2}\lg2+\frac{1}{2}\lg5\\=&\frac{1}{2}(\lg2+\lg5)\end{aligned}$
再根据$\log_aM+\log_aN=\log_a(MN)$，可得$\frac{1}{2}(\lg2+\lg5)=\frac{1}{2}\lg(2×5)=\frac{1}{2}\lg10=\frac{1}{2}$。
$(2)$计算$\lg25+\frac{2}{3}\lg8+\lg5×\lg20+(\lg2)^2$的值
解：
同样根据对数运算法则进行化简：
步骤一：化简各项对数
$\lg25=\lg5^2 = 2\lg5$；
$\frac{2}{3}\lg8=\frac{2}{3}\lg2^3 = 2\lg2$；
$\lg20=\lg(4×5)=\lg4+\lg5=\lg2^2+\lg5 = 2\lg2+\lg5$。
步骤二：代入化简后的式子进行计算
$\begin{aligned}&\lg25+\frac{2}{3}\lg8+\lg5×\lg20+(\lg2)^2\\=&2\lg5 + 2\lg2+\lg5×(2\lg2+\lg5)+(\lg2)^2\\=&2(\lg2+\lg5)+2\lg2×\lg5+(\lg5)^2+(\lg2)^2\\\end{aligned}$
根据完全平方公式$(a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2$，这里$a = \lg5$，$b = \lg2$，且$\lg2+\lg5=\lg(2×5)=\lg10 = 1$，则：
$\begin{aligned}&2(\lg2+\lg5)+2\lg2×\lg5+(\lg5)^2+(\lg2)^2\\=&2×1+(\lg5+\lg2)^2\\=&2 + 1^2\\=&3\end{aligned}$
综上，$(1)$式的值为$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$；$(2)$式的值为$\boldsymbol{3}$。

探究活动
例2 (1)设 $ 3^a = 4^b = 36 $，则 $ \frac{2}{a} + \frac{1}{b} $的值为1.

答案： 例2
(1)1
 

(2)已知 $ \log_{18}9 = a $，$ 18^b = 5 $，求 $ \log_{36}45 $的值.(用 $ a $，$ b $表示)
[一题多思]
思考1. 利用换底公式进行化简求值的原则和技巧分别是什么？
思考2. 本例(1)条件若变为“已知 $ 3^a = 5^b = c $，且 $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 2 $”，你能求出 $ c $的值吗？
思考3. 本例(2)条件不变，你能用 $ a $，$ b $表示 $ \log_915 $的值吗？

答案：
(2)$\frac{a + b}{2 - a}$. [一题多思] 思考1.提示： 原则→化异底为同底 技巧 技巧一：借助运算性质，先利用对数的运算性质进行部分运算，再化成同底对数进行计算 技巧二：借助换底公式一次性统一换为常用对数(自然对数)，再化简、求值 技巧三：利用对数恒等式或常用结论进行化简求值，可熟记一些常用结论，这样能够提高解题效率 思考2.提示：$c = \sqrt{15}$. 思考3.提示：$\frac{a + 2b}{2a}$.