《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

探究活动
例 4 已知定义在 $ \mathbf{R} $ 上的函数 $ f(x) = a + \frac{1}{4^{x} + 1} $ 是奇函数.
(1) 求 $ a $ 的值；
(2) 判断 $ f(x) $ 的单调性（不需要写出理由）；
(3) 若对任意的 $ t \in \mathbf{R} $，不等式 $ f(t^{2} - 2t) + f(2t^{2} - k) ＜ 0 $ 恒成立，求实数 $ k $ 的取值范围.

答案： 例4
(1)$a = -\frac{1}{2}$。
(2)$f(x)$在$\mathbf{R}$上为减函数。
(3)实数$k$的取值范围是$(-\infty,-\frac{1}{3})$。

已知函数 $ f(x) = \frac{a^{x} - 1}{a^{x} + 1} (a ＞ 0, a \neq 1) $.
(1) 判断函数 $ f(x) $ 的奇偶性；
(2) 讨论 $ f(x) $ 的单调性；
(3) 求 $ f(x) $ 的值域.

答案：
(1)$f(x)$是奇函数。
(2)当$a ＞ 1$时，函数$f(x)$在$\mathbf{R}$上单调递增；当$0 ＜ a ＜ 1$时，函数$f(x)$在$\mathbf{R}$上单调递减。
(3)值域为$(-1,1)$。