《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

2. 已知 $ p $：$ x \leq 1 $，$ q $：$\frac{1}{x} \leq 1$，则 $ q $ 是 $ p $ 的(D)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 2.D

求证：一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $（$ a $，$ b $，$ c $ 是常数，且 $ a \neq 0 $）有一正实根和一负实根的充要条件是 $ ac ＜ 0 $.

答案： 证明：必要性：由于方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$有一正实根和一负实根，设为$x_1,x_2$，
所以$\Delta=b^{2}-4ac＞0$，且$x_1x_2=\frac{c}{a}＜0$，所以$ac＜0$.
充分性：由$ac＜0$，可得$\Delta = b^{2}-4ac＞0$，
故方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$有两个不相等的实根，设为$x_1,x_2$，则$x_1x_2=\frac{c}{a}＜0$，
所以方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$有一正实根和一负实根.
综上，一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a,b,c$是常数，且$a\neq0)$有一正实根和一负实根的充要条件是$ac＜0$.

探究活动
例 已知集合 $ A = \{ x | 0 \leq x \leq 4 \} $，$ B = \{ x | 1 - a \leq x \leq 1 + a \} $（$ a ＞ 0 $），是否存在实数 $ a $，使得“$ x \in A $”是“$ x \in B $”的充要条件？

答案： 例 不存在满足条件的实数$a$.

1. 若“$ x ＞ 2 $”是“$ x ＞ m $”的必要不充分条件，则实数 $ m $ 的取值范围是$\{m\mid m＞2\}$.

答案： 1.$\{m\mid m＞2\}$

2. 已知 $ p $：$ x - 3 ＜ 0 $ 是 $ q $：$ 2x - 3 ＜ m $ 的充分不必要条件，求实数 $ m $ 的取值范围.

答案： 2.实数$m$的取值范围是$\{m\mid m＞3\}$.