《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

知识点一 全称量词与全称量词命题
1. 定义：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示。含有全称量词的命题，叫做全称量词命题。
2. 表述形式：全称量词命题“对 $ M $ 中任意一个 $ x $，$ p(x) $ 成立”可用符号简记为∀x∈M,p(x)。

答案： 1.全称量词 ∀ 全称量词 2.∀x∈M,p(x)

知识点二 存在量词与存在量词命题
1. 定义：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示。含有存在量词的命题，叫做存在量词命题。
2. 表述形式：存在量词命题“存在 $ M $ 中的元素 $ x $，$ p(x) $ 成立”可用符号简记为∃x∈M,p(x)。

答案： 1.存在量词 ∃ 存在量词命题 2.∃x∈M,p(x)  

【概念辨析】
1. 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)。
(1)全称量词表示对象的数量是无限的。(×)
(2)全称量词命题必须含有全称量词。(×)
(3)短语“至少有一个”是存在量词。(√)
(4)“$ 2x + 3 ＞ 1 $”是存在量词命题。(×)

答案： 【概念辨析】 1.
(1)×
(2)×
(3)√
(4)×  

2. “三角形内角和等于 $ 360^{\circ} $”是全称量词(填“全称量词”或“存在量词”)命题，且是假(填“真”或“假”)命题。

答案： 2.全称量词 假  

3. 请思考并回答下列问题：
(1)短语“都不是”是全称量词吗？“不都是”呢？
(2)短语“至多有一个”是存在量词吗？为什么？

答案： 1. 对于（1）：
“都不是”是全称量词，表示“所有的都不”，可以用$\forall x$（$x$满足某种条件时，$x$都不满足另一种条件）来表示。
“不都是”不是全称量词，它表示“存在至少一个不是”，是存在量词的否定形式。例如“这些数不都是正数”，意思是“存在这些数中的至少一个数不是正数”。
2. 对于（2）：
“至多有一个”不是存在量词。
理由：“至多有一个”表示的是数量的限制，它等价于“有一个或者没有”。可以用逻辑表达式表示为$\forall x\forall y(x = y)$（假设$x,y$是满足某一条件的元素），它更接近全称量词的逻辑表达形式，而存在量词是表示“存在至少一个”，用$\exists x$表示。
综上，（1）“都不是”是全称量词，“不都是”不是全称量词；（2）“至多有一个”不是存在量词。

判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用量词符号“$ \forall $”“$ \exists $”表示：
1. 所有实数 $ x $ 都能使 $ x^{2} + x + 1 ＞ 0 $ 成立；
2. 对所有实数 $ a $，$ b $，方程 $ ax + b = 0 $ 恰有一个解；
3. 一定有整数 $ x $，$ y $，使得 $ 3x - 2y = 10 $ 成立；
4. 所有的有理数 $ x $ 都能使 $ \frac{1}{3}x^{2} + \frac{1}{2}x + 1 $ 是有理数。

答案： 1.全称量词命题.∀x∈R,x²+x+1＞0. 2.全称量词命题.∀a,b∈R,ax+b=0 恰有一个解. 3.存在量词命题.∃x,y∈Z,3x-2y=10. 4.全称量词命题$.∀x∈Q,\frac{1}{3}x²+\frac{1}{2}x+1$是有理数.