《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

知识点一 二分法的概念
对于在区间$[a,b]$上图象______且______的函数$y = f(x)$，通过不断地把它的零点所在区间______，使所得区间的两个端点______，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

答案： 连续不断 $f(a)f(b)＜0$ 一分为二 逐步逼近零点

知识点二 用二分法求函数零点的近似值的步骤
给定精确度$\varepsilon$，用二分法求函数$y = f(x)$的零点$x_0$的近似值的一般步骤如下：
(1)确定零点$x_0$的初始区间$[a,b]$，验证f(a)f(b)＜0.
(2)求区间$(a,b)$的中点c.
(3)计算$f(c)$，并进一步确定零点所在的区间：
①若$f(c) = 0$(此时$x_0 = c$)，则c就是函数的零点；
②若$f(a)f(c) \lt 0$(此时$x_0 \in$(a,c))，则令$b = c$；
③若$f(c)f(b) \lt 0$(此时$x_0 \in$(c,b))，则令$a = c$.
(4)判断是否达到精确度$\varepsilon$：若$|a - b| \lt \varepsilon$，则得到零点近似值$a$(或$b$)；否则重复步骤(2)～(4).
以上步骤可借助口诀记忆：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断.

答案：
(1)$f(a)f(b)＜0$
(2)c
(3)①c ②$(a,c)$ ③$(c,b)$ 

 【概念辨析】
1. 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”).
(1)如果函数零点两侧函数值同号，不适合用二分法求此零点的近似值. (√)
(2)用二分法求函数零点近似值，必须先确定零点所在区间. (√)
(3)用二分法一定能求出函数零点. (×)
(4)用二分法求函数零点近似值，达到精确度后，所得区间内任一数均可视为零点的近似值. (√)

答案：  1.
(1)√
(2)√
(3)×
(4)√  

2. 用二分法研究函数$f(x) = x^3 + x^2 - 2x - 2$的零点时，第1次取的区间为$[1,2]$，则第2次取的区间为[1,1.5).

答案： 2.[1,1.5)  

3. 请思考并回答下列问题：
(1)二分法的基本思想是什么？
(2)二分法的依据是什么？
(3)函数的零点满足什么条件时，可用二分法求近似值？

答案： 1. 二分法的基本思想：
对于在区间$[a,b]$上连续不断且$f(a)f(b)＜0$的函数$y = f(x)$，通过不断地把函数$f(x)$的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法。
2. 二分法的依据：
零点存在定理：如果函数$y = f(x)$在区间$[a,b]$上的图象是连续不断的一条曲线，并且有$f(a)f(b)＜0$，那么函数$y = f(x)$在区间$(a,b)$内有零点。
3. 函数的零点满足的条件：
函数$y = f(x)$在区间$[a,b]$上的图象是连续不断的一条曲线，且$f(a)f(b)＜0$时，可用二分法求近似值。