《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

1. 已知函数 $ y = f(x)(x \in \mathbf{R}) $，若对于任意实数 $ a $，$ b $ 都有 $ f(a + b) = f(a) + f(b) $，则不恒为零的函数 $ f(x) $(A)

A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.是非奇非偶函数

答案： 1.A

2. 如果 $ f(x) $ 是定义在 $ \mathbf{R} $ 上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是(B)

A.$ y = x + f(x) $
B.$ y = xf(x) $
C.$ y = x^2 + f(x) $
D.$ y = x^2f(x) $

答案： 2.B

3. 判断函数 $ f(x) = \begin{cases} x^2 - 2x + 3, x ＞ 0, \\ 0, x = 0, \\ -x^2 - 2x - 3, x ＜ 0 \end{cases} $ 的奇偶性.

答案： 3.奇函数.

探究活动　　
例$1 (1) $若$ f(x) $是定义在$ \mathbf{R} $上的偶函数，当$ x ＞ 0 $时，$ f(x) = 2x^2 - 4x + 3 ，$则当$ x ＜ 0 $时，$ f(x) = $　　$2x^{2}+4x+3$　　$.$　　

答案： 例$1
(1)2x^{2}+4x+3 

(2) 设 $ f(x) $ 是偶函数，$ g(x) $ 是奇函数，且 $ f(x) + g(x) = \frac{1}{x - 1} $，求函数 $ f(x) $，$ g(x) $ 的解析式.
一题多思
思考1. 在本例 (1) 中，若把“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，你能求出 $ f(x) $ 的解析式吗？
思考2. 本例 (2) 中，若把“$ f(x) $ 是偶函数，$ g(x) $ 是奇函数”改为“$ f(x) $ 是奇函数，$ g(x) $ 是偶函数”，还能求出 $ f(x) $，$ g(x) $ 的解析式吗？

答案： $ (2)f(x)=\frac{1}{x^{2}-1},g(x)=\frac{x}{x^{2}-1}.$　　
$[$一题多思$]$　　
思考$1.$提示　　$:f(x)=\begin{cases}2x^{2}-4x+3,x＞0,\\0,x=0,\\-2x^{2}-4x-3,x＜0.\end{cases}$　　
思考$2.$提示　　$:f(x)=\frac{x}{x^{2}-1},g(x)=\frac{1}{x^{2}-1}.$