《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

知识点一 一元二次不等式、二次函数的零点
1. 一元二次不等式

2. 二次函数的零点
一般地，对于二次函数$y=ax^{2}+bx+c$，我们把使$ax^{2}+bx+c=0$的实数$x$叫做二次函数$y=ax^{2}+bx+c$的零点.

答案： 2. 实数$x$ 零点

知识点二 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系

答案： 1. 对于$ax^{2}+bx + c = 0(a\gt0)$，当$\Delta = 0$时：
根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，因为$\Delta = 0$，所以$x_{1}=x_{2}=-\frac{b}{2a}$。
2. 对于$ax^{2}+bx + c\gt0(a\gt0)$，当$\Delta\lt0$时：
因为二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\gt0)$的图象是开口向上的抛物线，且与$x$轴没有交点，所以$y = ax^{2}+bx + c\gt0$的解集是$R$（全体实数）。
3. 对于$ax^{2}+bx + c\lt0(a\gt0)$，当$\Delta\lt0$时：
因为二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\gt0)$的图象是开口向上的抛物线，且与$x$轴没有交点，所以$y = ax^{2}+bx + c\lt0$的解集是$\varnothing$（空集）。
故答案依次为：$-\frac{b}{2a}$；$R$；$\varnothing$。

【概念辨析】
1. 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”).
(1)不等式$ax^{2}+x - 1＜0$是关于$x$的一元二次不等式. (×)
 
(2)二次函数$y=x^{2}-4$的零点是$(2,0)$，$(-2,0)$. (×)
(3)若函数$y=ax^{2}+bx+c(a＞0)$的两个零点分别为$1$，$2$，则关于$x$的不等式$ax^{2}+bx+c＜0$的解集为$\{x|1＜x＜2\}$. (√)
(4)若关于$x$的方程$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$没有实数根，则关于$x$的不等式$ax^{2}+bx+c＞0$的解集为$\mathbf{R}$. (×)

答案： 1.
(1)×
(2)×
(3)√
(4)×  

2. 不等式$6x^{2}+x - 2\leqslant0$的解集为$\left\{x \mid -\frac{2}{3} \leqslant x \leqslant \frac{1}{2}\right\}$.

答案：  
{x∣−32​⩽x⩽21​}

3. 请思考并回答下列问题：
(1)根据不等式$3x^{2}+5x - 2＞0$的解集，你能得出不等式$3x^{2}+5x - 2\leqslant0$的解集吗？
 (2)怎样利用数形结合的思想理解三个“二次”之间的关系？

答案： 1. 对于不等式$3x^{2}+5x - 2＞0$：
先解方程$3x^{2}+5x - 2 = 0$，根据一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$的求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，这里$a = 3$，$b = 5$，$c=-2$。
则$\Delta=b^{2}-4ac = 5^{2}-4×3×(-2)=25 + 24 = 49$，$x=\frac{-5\pm\sqrt{49}}{2×3}=\frac{-5\pm7}{6}$。
解得$x_{1}=\frac{-5 + 7}{6}=\frac{1}{3}$，$x_{2}=\frac{-5-7}{6}=-2$。
对于二次函数$y = 3x^{2}+5x - 2$（$a = 3\gt0$，图象开口向上），不等式$3x^{2}+5x - 2＞0$的解集是$\{x|x\lt - 2或x\gt\frac{1}{3}\}$。
那么不等式$3x^{2}+5x - 2\leqslant0$的解集是$\{x|-2\leqslant x\leqslant\frac{1}{3}\}$。
2. 利用数形结合思想理解三个“二次”（二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$、一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$、一元二次不等式$ax^{2}+bx + c\gt0(a\neq0)$或$ax^{2}+bx + c\lt0(a\neq0)$）之间的关系：
对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$，它的图象是一条抛物线。
一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$的根就是二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的图象与$x$轴交点的横坐标。当$\Delta=b^{2}-4ac\gt0$时，抛物线与$x$轴有两个不同的交点$(x_{1},0)$，$(x_{2},0)$（$x_{1}\lt x_{2}$）；当$\Delta=b^{2}-4ac = 0$时，抛物线与$x$轴有一个交点$(-\frac{b}{2a},0)$；当$\Delta=b^{2}-4ac\lt0$时，抛物线与$x$轴没有交点。
对于一元二次不等式$ax^{2}+bx + c\gt0(a\gt0)$（或$ax^{2}+bx + c\lt0(a\gt0)$）：
当$a\gt0$时，$ax^{2}+bx + c\gt0$的解集是抛物线$y = ax^{2}+bx + c$在$x$轴上方部分对应的$x$的取值范围；$ax^{2}+bx + c\lt0$的解集是抛物线$y = ax^{2}+bx + c$在$x$轴下方部分对应的$x$的取值范围。例如，对于$y = ax^{2}+bx + c(a\gt0)$，若方程$ax^{2}+bx + c = 0$的两根为$x_{1}$，$x_{2}(x_{1}\lt x_{2})$，则$ax^{2}+bx + c\gt0$的解集是$\{x|x\lt x_{1}或x\gt x_{2}\}$，$ax^{2}+bx + c\lt0$的解集是$\{x|x_{1}\lt x\lt x_{2}\}$（当$\Delta\gt0$）；当$\Delta = 0$时，$ax^{2}+bx + c\gt0$的解集是$\{x|x\neq-\frac{b}{2a}\}$，$ax^{2}+bx + c\lt0$的解集是$\varnothing$；当$\Delta\lt0$时，$ax^{2}+bx + c\gt0$的解集是$R$，$ax^{2}+bx + c\lt0$的解集是$\varnothing$。
综上，（1）不等式$3x^{2}+5x - 2\leqslant0$的解集是$\boldsymbol{\{x|-2\leqslant x\leqslant\frac{1}{3}\}}$；（2）如上述分析利用二次函数图象与$x$轴交点情况来理解一元二次方程的根和一元二次不等式的解集。