《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

知识点一 周期性
1. 函数的周期性
（1）一般地，设函数 $ f(x) $ 的定义域为 $ D $，如果存在一个非零常数$T$，使得对每一个 $ x \in D $，都有 $ x + T \in D $，且$f(x + T) = f(x)$，那么函数 $ f(x) $ 就叫做周期函数.非零常数$T$叫做这个函数的周期.
（2）如果在周期函数 $ f(x) $ 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 $ f(x) $ 的.最小正周期
2. 正弦函数、余弦函数的周期性
由于 $ \sin(x + 2k\pi) =$$\sin x$$$ ，$ \cos(x +$$\cos x$$2k\pi) = $ $ (k \in \mathbf{Z}) $，故 $ y = \sin x $ 与 $ y = \cos x $ 都是周期函数，$ 2k\pi(k \in \mathbf{Z} $ 且 $ k \neq 0) $ 都是它们的周期，且它们的最小正周期都是 $ 2\pi $.

答案： 知识点一
1.
(1)非零常数$T$ $f(x + T) = f(x)$ 非零常数$T$
(2)最小的正数 最小正周期
2.$\sin x$ $\cos x$ 周期

知识点二 正弦函数、余弦函数的奇偶性
（1）对于 $ y = \sin x $，$ x \in \mathbf{R} $，恒有 $ \sin(-x) = -\sin x $，所以正弦函数 $ y = \sin x $ 是奇函数，正弦曲线关于原点对称.
（2）对于 $ y = \cos x $，$ x \in \mathbf{R} $，恒有 $ \cos(-x) = \cos x $，所以余弦函数 $ y = \cos x $ 是偶函数，余弦曲线关于$y$轴对称.

答案： 知识点二
(1)奇 原点
(2)偶 $y$轴

1. 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”).
(1)因为函数 $ f(x) = x^2 $ 满足 $ f(-3 + 6) = f(-3) $，所以 $ f(x) = x^2 $ 是以 6 为周期的周期函数. (×)
(2)函数 $ f(x) = \sin(2x + \frac{\pi}{2}) $ 是偶函数. (√)
(3)$ y = \sin x $ 与 $ y = \cos x $ 的图象既是中心对称图形又是轴对称图形. (√)
(4)周期函数的定义域一定为无限集，且无上下界. (√)

答案： 1.
(1)×
(2)√
(3)√
(4)√

2. 设函数 $ f(x) = \cos(2x - \frac{\pi}{2}) $，$ x \in \mathbf{R} $，则 $ f(x) $ 是(A)
A.最小正周期为 $ \pi $ 的奇函数
B.最小正周期为 $ \pi $ 的偶函数
C.最小正周期为 $ \frac{\pi}{2} $ 的奇函数
D.最小正周期为 $ \frac{\pi}{2} $ 的偶函数

答案： 2.A