《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

知识点一 相等关系与不等关系
类似于多与少、大与小、长与短等问题，反映在数量关系上，就是相等与不等，相等用 等式 表示，不等用 不等式 表示.

答案： 知识点一 等式 不等式

知识点二 实数 $ a $，$ b $ 的大小比较
(1) 画数轴比较法
设 $ a $，$ b $ 是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是 $ A $，$ B $. 那么，当点 $ A $ 在点 $ B $ 的左边时， $a ＜ b$ ；当点 $ A $ 在点 $ B $ 的右边时， $a ＞ b$.
(2) 作差比较法
如果 $ a - b $ 是正数，那么 $a ＞ b$ ；如果 $ a - b $ 等于 $ 0 $，那么 $a = b$ ；如果 $ a - b $ 是负数，那么 $a ＜ b$. 反过来也对.
这个基本事实可以表示为
$a ＞ b$ $ \Leftrightarrow a - b ＞ 0 $；
$ a = b \Leftrightarrow $ $a - b = 0$ ；
$ a ＜ b \Leftrightarrow $ $a - b ＜ 0$.

答案： 知识点二
(1)$a ＜ b$ $a ＞ b$
(2)$a ＞ b$ $a = b$ $a ＜ b$ $a ＞ b$ $a - b = 0$ $a - b ＜ 0$

知识点三 重要不等式
一般地，$ \forall a $，$ b \in \mathbf{R} $，有 $ a^2 + b^2 $ $\geqslant$ $ 2ab $，当且仅当 $a = b$ 时，等号成立.

答案： 知识点三
$\geqslant$ $a = b$
 

【概念辨析】
1. 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”).
(1) $ a $ 不小于 $ b $ 表示为 $ a ＞ b $. (×)
(2) 任意两个实数 $ a $，$ b $ 之间的大小关系，有且只有 $ a ＞ b $，$ a ＜ b $ 两种. (×)
(3) 若 $ x - y ＜ 0 $，我们就说 $ x $ 大于 $ y $. (×)
(4) $ \forall a $，$ b \in \mathbf{R} $，且 $ a \neq b $，有 $ a^2 + b^2 ＞ 2ab $. (√)

答案： 【概念辨析】
1.
(1)×
(2)×
(3)×
(4)√  

2. 设 $ m = 2a^2 + 2a + 1 $，$ n = (a + 1)^2 $，$ a \in \mathbf{R} $，则 $ m $，$ n $ 的大小关系是 $m \geqslant n$.

答案： 2.m⩾n  

3. 请思考并回答下列问题：
(1) 不等式“$ a \leq b $”的含义是什么？只有当“$ a ＜ b $”与“$ a = b $”同时成立时，该不等式才成立吗？
(2) 在作差法比较大小的基本事实中，$ a $，$ b $ 两数是任意实数吗？

答案： 1. 对于不等式$a\leq b$：
含义：$a\leq b$表示$a$小于或等于$b$，即$a$比$b$小或者$a$和$b$相等。
不是只有当$a\lt b$与$a = b$同时成立时该不等式才成立，而是$a\lt b$或者$a = b$时不等式$a\leq b$成立。
2. 在作差法比较大小的基本事实中：
解：在作差法比较大小的基本事实$a - b\gt0\Leftrightarrow a\gt b$，$a - b = 0\Leftrightarrow a = b$，$a - b\lt0\Leftrightarrow a\lt b$中，$a$，$b$两数是任意实数。