《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

探究活动
例 1 若关于 $ x $ 的方程 $ |3^{x} - 1| = k $ 仅有一解，则实数 $ k $ 的取值范围是(0)∪[1,+∞).

答案： 例1 $(0)\cup[1,+\infty)$

1. 若关于 $ x $ 的方程 $ 3^{|x|} - 1 = k $ 有两解，则实数 $ k $ 的取值范围是(0,+∞).

答案： 1.$(0,+\infty)$

2. 若函数 $ y = |3^{x} - 1| + k $ 的图象不经过第二象限，则实数 $ k $ 的取值范围是(-∞,-1].

答案： 2.$(-\infty,-1]$

探究活动
例 2 判断函数 $ f(x) = (\frac{1}{3})^{x^{2} - 2x} $ 的单调性，并求其值域.
[一题多思]
思考 1. 指数型函数 $ y = a^{f(x)} (a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1) $ 是由哪些函数复合而成的？
思考 2. 指数型函数 $ y = a^{f(x)} (a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1) $ 的单调性是由哪些因素决定的？
思考 3. 你能确定函数 $ y = 9^{x} - 2 \cdot 3^{x} + 3 $ 的单调性吗？

答案： 例2 $y=(\frac{1}{3})^{x^{2}-2x}$在$(-\infty,1]$上单调递增，在$[1,+\infty)$上单调递减.值域为$(0,3]$。
[一题多思]
思考1.提示：由两个函数$y=a^{u},u = f(x)$复合而成。
思考2.提示：一是底数$a$的大小；二是$f(x)$的单调性。
思考3.提示：函数$y = 9^{x}-2\cdot3^{x}+3$在$(-\infty,0)$上单调递减，在$[0,+\infty)$上单调递增。