《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

知识点一 元素与集合的相关概念
(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写拉丁字母a,b,c,…表示.
(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，常用大写拉丁字母A,B,C,…表示.
(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的.
(4)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性.

答案：
(1)研究对象 a,b,c,…
(2)元素 A,B,C,…
(3)一样的
(4)确定性 互异性 无序性

知识点二 元素与集合的关系

答案： a是集合A的元素 a∈A a不是集合A中的元素 a∉A

知识点三 常用的数集及其记法

答案： 3. 解答
- **
(1)
解：英文单词$book$的所有字母能组成一个集合。
因为集合中的元素具有确定性、互异性、无序性。对于“$book$”中的字母，我们可以明确地确定其组成元素，并且相同字母只算一个元素（满足互异性）。
该集合中有$3$个元素，分别是$b$，$o$，$k$（因为集合中元素具有互异性，两个$o$只算一个元素）。
- **
(2)
解：自然数集是全体非负整数组成的集合，记为$\mathbf{N}$，即$\mathbf{N}=\{0,1,2,3,\cdots\}$；
正整数集是全体正整数组成的集合，记为$\mathbf{N}^*$或$\mathbf{N}_+$，即$\mathbf{N}^*=\{1,2,3,\cdots\}$。
所以自然数集比正整数集多一个元素$0$。
数集对应的符号：
非负整数集（或自然数集）：$\mathbf{N}$；
正整数集：$\mathbf{N}^*$或$\mathbf{N}_+$；
整数集：$\mathbf{Z}$；
有理数集：$\mathbf{Q}$；
实数集：$\mathbf{R}$。

【概念辨析】
1. 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”).
(1)某校所有性格开朗的女生能构成一个集合.(×)
(2)分别由元素$0$，$1$，$2$和$2$，$0$，$1$组成的两个集合是相等的.(√)
(3)$a \in A$与$a \notin A$这两种情况有且只有一种成立.(√)
(4)如果坐标平面内所有的点组成的集合为$B$，那么$1 \in B$.(×)

答案： 1.
(1)×
(2)√
(3)√
(4)×   

2. 用符号“$\in$”或“$\notin$”填空.
$2$∈$\mathbf{N}$；$-3$∉$\mathbf{N}$；$\sqrt{3}$∉$\mathbf{Z}$；$\frac{1}{2}$∈$\mathbf{Q}$；$\pi$∈$\mathbf{R}$.

答案： 2.∈ ∉ ∉ ∈ ∈ 

3. 请思考并回答下列问题：
(1)英文单词$book$的所有字母能否组成一个集合？若能组成一个集合，则该集合中有几个元素？为什么？
(2)自然数集与正整数集有何区别？

答案： 1. 对于（1）：
解：根据集合中元素的互异性（集合中的元素具有确定性、互异性、无序性，互异性是指集合中的元素都不相同）。
英文单词“book”中的字母为“b”“o”“k”，其中字母“o”出现了两次，但在集合中相同元素只算一个。
所以“book”的所有字母能组成一个集合，该集合为$\{b, o, k\}$，集合中有$3$个元素。
2. 对于（2）：
自然数集是$N=\{0,1,2,3,\cdots\}$，正整数集是$N^+=\{1,2,3,\cdots\}$。
区别：自然数集比正整数集多一个元素$0$，即自然数集包含$0$和所有的正整数，正整数集是自然数集中除去$0$的集合。