《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

一般地，无理数指数幂$ a^{\alpha}(a ＞ 0,\alpha $为无理数$) $是一个确定的　　实数　　$. $整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于任意实数$ r,s ，$均有下面的运算性质$.$　　
$(1) a^{r}a^{s}=a^{r + s}(a ＞ 0,r,s \in \mathbf{R}) ；$　　
$(2) (a^{r})^{s}= $　　$a^{r}$　　$ (a ＞ 0,r,s \in \mathbf{R}) ；$　　
$(3) (ab)^{r}= $　　$a^{r}b^{s}$　　$ (a ＞ 0,b ＞ 0,r \in \mathbf{R}) .$　　

答案： 知识点 无理数指数幂及实数指数幂的运算性质 实数$ (2)a^{r} (3)a^{r}b^{s}$

1. 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”).
(1) $ \alpha,\beta $ 是实数，当 $ a ＞ 0 $ 时，$ (a^{\alpha})^{\beta}=(a^{\beta})^{\alpha} $. (√)
(2) 当 $ a ＞ 0,b ＞ 0 $ 时，$ (a^{\frac{\pi}{2}} + b^{\frac{\pi}{2}})(a^{\frac{\pi}{2}} - b^{\frac{\pi}{2}})=a^{\pi} - b^{\pi} $. (√)
(3) 当 $ a ＞ 0 $ 时，$ (a - a^{-1})^{2}=(a + a^{-1})^{2} - 2 $. (×)
(4) $ (a^{\sqrt{2}})^{2}=a^{2} $. (×)
(5) $ (3^{-2})^{\frac{1}{2}} × (\sqrt{3})^{-2}=\frac{1}{9} $. (√)

答案： 1.
(1)√
(2)√
(3)×
(4)×
(5)√

$2. $填空：　　
$(1) (3^{-\sqrt{3}})^{\sqrt{3}}= $　　$\frac{1}{27}$　　$.$　　
$(2) $已知$ 5^{\alpha}=3,5^{\beta}=2 ，$则　　
$① 5^{\alpha + \beta}= $　　$6$　　；$② 5^{\alpha - \beta}= $　　$\frac{3}{2}$　　；　　
$③ 5^{-3\alpha}= $　　$\frac{1}{27}$　　；$④ 5^{\frac{\alpha}{2}}= $　　$\sqrt{3}$　　$.$　　

答案： $2.(1)\frac{1}{27} (2)①6 ②\frac{3}{2} ③\frac{1}{27} ④\sqrt{3}$

3. 请思考并回答下列问题：
(1) “因为 $ \sqrt{2} $ 是无限不循环小数，所以 $ (\pi - 1)^{\sqrt{2}} $ 是一个不确定的数”这种说法正确吗？
(2) 除了以上运算性质，实数指数幂的运算还有哪些常用性质？

答案：
(1) 不正确。无理数指数幂 $a^b$（$a＞0$，$b$为无理数）是一个确定的实数，$\pi - 1 ＞ 0$，所以$(\pi - 1)^{\sqrt{2}}$是确定的数。
(2) ① $a^m \cdot a^n = a^{m + n}$（$a＞0$，$m,n\in\mathbf{R}$）；② $(a^m)^n = a^{mn}$（$a＞0$，$m,n\in\mathbf{R}$）；③ $(ab)^n = a^n b^n$（$a＞0$，$b＞0$，$n\in\mathbf{R}$）。