《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

知识点一 幂函数的概念
一般地，函数 $y = x^{\alpha}$ 叫做幂函数，其中 $x$ 是自变量，$\alpha$ 是常数。

答案： 知识点一 $y = x^{\alpha} \quad x \ \alpha$

知识点二 幂函数的图象与性质
1. 五个幂函数的图象

2. 五个幂函数的性质

答案： 2.$[0, +\infty) \quad [0, +\infty)$ 奇 奇 非奇非偶 增 减 增 增 减 减  

 【概念辨析】
1. 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)。
(1) 函数 $ y = x^{0} $ 是幂函数。 (√)
(2) 幂函数的图象都过原点。 (×)
(3) 幂函数一定具有奇偶性。 (×)
(4) 当 $ \alpha ＞ 0 $ 时，幂函数 $ y = x^{\alpha} $ 是增函数。 (×)

答案： 【概念辨析】 1.

(1)√

(2)×

(3)×

(4)×  

2. 已知幂函数 $ f(x) = x^{\alpha} $ 的图象过点 $ (2, 4) $，则 $ f(4) = $ 16。

答案： 2.16  

3. 请思考并回答下列问题：
(1) 幂函数有何特点？函数 $ y = 2^{x} $，$ y = 2x^{2} $ 是幂函数吗？
 
(2) 通过对幂函数 $ y = x $，$ y = x^{2} $，$ y = x^{3} $，$ y = x^{-1} $，$ y = x^{\frac{1}{2}} $ 图象与性质的研究，你能总结一下幂函数的性质吗？

答案： 1. （1）
幂函数的特点：
幂函数的一般形式为$y = x^{\alpha}$（$\alpha$为常数），其特点是：
① 系数为$1$；
② 底数$x$是自变量；
③ 指数$\alpha$是常数。
对于函数$y = 2^{x}$，它不符合幂函数$y = x^{\alpha}$的形式（底数是常数$2$，指数是自变量$x$），所以$y = 2^{x}$不是幂函数。
对于函数$y = 2x^{2}$，其系数是$2\neq1$，不符合幂函数系数为$1$的特点，所以$y = 2x^{2}$不是幂函数。
2. （2）幂函数的性质：
① 所有幂函数$y = x^{\alpha}$在$(0,+\infty)$上都有定义，且图象都过点$(1,1)$。
② 当$\alpha\gt0$时：
幂函数$y = x^{\alpha}$的图象过原点，并且在$[0,+\infty)$上单调递增。
当$\alpha\gt1$时，图象在$(0,1)$部分下凸，在$(1,+\infty)$部分增长速度越来越快；当$0\lt\alpha\lt1$时，图象在$(0,1)$部分上凸，在$(1,+\infty)$部分增长速度越来越慢。
③ 当$\alpha\lt0$时：
幂函数$y = x^{\alpha}$的图象在$(0,+\infty)$上单调递减，图象不过原点，以$x$轴和$y$轴为渐近线。
函数在$(-\infty,0)$上的单调性：
当$\alpha$为奇数时，$y = x^{\alpha}$在$(-\infty,0)$上单调递减；当$\alpha$为偶数时，$y = x^{\alpha}$在$(-\infty,0)$上单调递增。
④ 幂函数$y = x^{\alpha}$，当$\alpha$为奇数时，函数为奇函数；当$\alpha$为偶数时，函数为偶函数。