《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

2. 已知 $ \tan \alpha = 2 $，求下列各式的值：
(1) $ \sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha $；
(2) $ \frac{3\sin \alpha \cos \alpha - 2\cos^2 \alpha}{1 - 2\cos^2 \alpha} $.

答案： $2.(1)\frac{3}{5}. (2)\frac{4}{3}.$

探究活动
例 4 (1) 化简：$ \frac{\sqrt{1 + 2\sin 10° \cos 10°}}{\cos 10° + \sqrt{1 - \cos^2 10°}} $；
(2) 证明：$ \frac{1 - 2\sin 2x \cos 2x}{\cos^2 2x - \sin^2 2x} = \frac{1 - \tan 2x}{1 + \tan 2x} $.

答案： 例4
(1)1.
(2)证明：左边$ = \frac{\cos^{2}2x + \sin^{2}2x - 2\sin2x\cos2x}{\cos^{2}2x - \sin^{2}2x}$
$= \frac{(\cos2x - \sin2x)^{2}}{(\cos2x - \sin2x)(\cos2x + \sin2x)}$
$= \frac{\cos2x - \sin2x}{\cos2x + \sin2x} = \frac{1 - \tan2x}{1 + \tan2x} = $右边.
所以原等式成立.

1. 化简：$ \frac{\sin \alpha}{1 - \cos \alpha} \cdot \sqrt{\frac{\tan \alpha - \sin \alpha}{\tan \alpha + \sin \alpha}} $.

答案： 1.原式$ = \begin{cases} 1, \sin\alpha ＞ 0, \\ -1, \sin\alpha ＜ 0. \end{cases}$

2. 已知 $ \tan^2 \alpha = 2\tan^2 \beta + 1 $，求证：$ \sin^2 \beta = 2\sin^2 \alpha - 1 $.

答案： 2.证明：因为$\tan^{2}\alpha = 2\tan^{2}\beta + 1,$所以$\tan^{2}\alpha + 1 = 2(\tan^{2}\beta + 1).$
所以$\frac{\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha}{\cos^{2}\alpha} = 2 \cdot \frac{\sin^{2}\beta + \cos^{2}\beta}{\cos^{2}\beta},$所以$\frac{1}{\cos^{2}\alpha}$
$= \frac{2}{\cos^{2}\beta},$
所以$\cos^{2}\beta = 2\cos^{2}\alpha,$所以$1 - \sin^{2}\beta = 2(1 - \sin^{2}\alpha).$
所以$\sin^{2}\beta = 2\sin^{2}\alpha - 1.$