《2025年点金训练精讲巧练高中数学必修第一册人教版A版》

探究活动
例 1 (1) 若 $ \sin \alpha = -\frac{4}{5} $，且 $ \alpha $ 是第三象限角，求 $ \cos \alpha, \tan \alpha $ 的值；

答案： 例$1 (1)\cos\alpha = - \frac{3}{5},\tan\alpha = \frac{4}{3}.$
 

(2) 若 $ \tan \alpha = -\frac{15}{8} $，求 $ \sin \alpha $ 的值.

答案：
(2)当$\alpha$是第二象限角时$,\sin\alpha = \frac{15}{17};$
当$\alpha$是第四象限角时$,\sin\alpha = - \frac{15}{17}.$

1. 已知 $ \alpha \in \left( \pi, \frac{3\pi}{2} \right) $，$ \tan \alpha = 2 $，则 $ \cos \alpha $ 的值为 - \frac{\sqrt{5}}{5}.

答案： $1. - \frac{\sqrt{5}}{5}$

2. 已知 $ \cos \alpha = -\frac{8}{17} $，求 $ \sin \alpha, \tan \alpha $ 的值.

答案： 2.当$\alpha$是第二象限角时$,\sin\alpha = \frac{15}{17},\tan\alpha = - \frac{15}{8};$
当$\alpha$是第三象限角时$,\sin\alpha = - \frac{15}{17},\tan\alpha = \frac{15}{8}.$

探究活动
例 2 已知 $ \sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{5} $，$ \alpha \in (0, \pi) $，求下列各式的值：
(1) $ \sin \alpha \cos \alpha $；(2) $ \sin \alpha - \cos \alpha $.

答案： 例$2 (1)- \frac{12}{25} (2)\frac{7}{5}.$
 

例 3 已知 $ \frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha} = 2 $，计算下列各式的值：
(1) $ \frac{3\sin \alpha - \cos \alpha}{2\sin \alpha + 3\cos \alpha} $；
(2) $ \sin^2 \alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha + 1 $.

答案： 例$3 (1)\frac{8}{9} (2)\frac{13}{10}.$

1. (多选)已知 $ \theta \in (0, \pi) $，$ \sin \theta + \cos \theta = -\frac{1}{5} $，则下列结论正确的是 (ACD)

A.$ \theta \in \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right) $
B.$ \cos \theta = -\frac{3}{5} $
C.$ \tan \theta = -\frac{3}{4} $
D.$ \sin \theta - \cos \theta = \frac{7}{5} $

答案： 1.ACD